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Universität/Hochschule J Erwartungswert berechnen
rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-30


Hallo Leute, ich habe eine Aufgabe bei der ich leider nicht verstehe was zu machen ist. Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen.

Es sei \(q \in (0,1)\) der Anteil der Personen einer Bevölkerungsgruppe, die eine durch eine Blutuntersuchung
nachweisbare Krankheit haben; der Anteil der gesunden Personen sei
\(p=1-q\) . Um alle
erkrankten Personen der Bevölkerung zu finden, sind zwei Vorgehensweisen möglich: die Einzelprüfung und die Gruppenprüfung. Bei der Einzelprüfung wird das Blut jeder Person untersucht. Bei
der Gruppenprüfung werden die Personen in Gruppen zu je r Personen
\(r >=2\) eingeteilt. Alle r Blutproben einer Gruppe werden vermischt, und die Mischung wird analysiert. Lässt sich in der Mischung
kein Hinweis auf die Krankheit feststellen, so sind alle Personen der Gruppe gesund, und es ist keine weitere Untersuchung nötig; ist der Befund jedoch positiv, d.h. mindestens eine Person der
Gruppe ist erkrankt, muss zusätzlich das Blut jedes Gruppenmitglieds einzeln analysiert werden.
(a) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der notwendigen Blutanalysen für eine Gruppe
von r Personen. Unter geeigneten Annahmen bestimme man die relative Ersparnis pro Person \( \Delta = \frac{r-EX}{r}\)
die entsteht, falls man die Methode der Gruppenprüfung anstelle der Einzelprüfung anwendet.
(Negative Werte von \(\Delta\) bedeuten Mehraufwand.)
(b) Für welche Werte von p kann man eine Gruppengröße \(r>=2\) finden, so dass die Gruppenprüfung der Einzelprüfung überlegen ist, d.h. dass \(\Delta >0\) gilt? Geben Sie das optimale r für p = 0.85, p = 0.95, p = 0.97, p = 0.98 sowie p = 0.99 an.

Bei der (a) wird man sich wohl den Erwartungswert berechnen müssen:
X ist ja die Anzahl der Blutanalysen für eine Gruppe, aber bei einer Gruppe wird ja 1 Analyse von der Gruppe gemacht und wenn positiv alle personen einzeln.
Also wären die beiden Ausgänge für X 1 und 1+r oder?
\(P_X = p*\delta_1 + q*p^r \delta_{(1+r)}\)
Ist das soweit richtig?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

deine Grundüberlegung mit dem Wertevorrat der ZV X ist richtig. Deine folgende Notation verstehe ich nicht. Jedenfalls bestimmt sich der Erwartungswert von X hier zu

\[E(X)=1\cdot P(X=1)+(r+1)\cdot P(X=r+1)\]
Das führt auf einen Term, der dann im Aufgabenteil b) eine Lösung durch Ausprobieren nahelegt...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Danke für deine Antwort.

Ja das verstehe ich.
\(P(X=1) = p\) aber was ist hier \(P(X=r+1)\)?
Die Wkt, dass r+1 Analysen gemacht werden ist auf jeden Fall zuerst mal \(q\) für eine negative Analyse, aber danach weiß ich ja nicht wie viele positiv oder negativ sind?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-05-30 18:51 - rom08 in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke für deine Antwort.

Ja das verstehe ich.
\(P(X=1) = p\) aber was ist hier \(P(X=r+1)\)?

Nein, das stimmt nicht. Es sind ja r Personen, die Wahrscheinlichkeit, dass alle r Personen gesund sind ist somit \(P(X=1)=p^r\).

Und daraus lässt sich jetzt die Wahrscheinlichkeit für \(X=1+r\) doch sofort ablesen. Oder siehst du für die ZV X noch weitere mögliche Werte als 1 und 1+r?...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Ja hatte einen Denkfehler.
Wenn also \(P(X=1) = p^r\) und es nur zwei mögliche Ausgänge gibt muss die Wahrscheinlichkeit für \(P(X=1+r) = 1-p^r \)sein oder? Ansonsten würde bei der Verteilung die Summe der Koeffizienten nicht 1 ergeben und es wäre kein Wahrscheinlichkeitsmaß?

Somit wäre \(E(X) = p^r + (r+1)*(1-p^r) = ... = r+1-p^{r+1}\)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

bis hierher:

2020-05-31 10:05 - rom08 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ja hatte einen Denkfehler.
Wenn also \(P(X=1) = p^r\) und es nur zwei mögliche Ausgänge gibt muss die Wahrscheinlichkeit für \(P(X=1+r) = 1-p^r \)sein oder? Ansonsten würde bei der Verteilung die Summe der Koeffizienten nicht 1 ergeben und es wäre kein Wahrscheinlichkeitsmaß?

Somit wäre \(E(X) = p^r + (r+1)*(1-p^r) = ...\)

ist es richtig. Rechne die Vereinfachung nochmal nach. Denke insbesondere nochmal darüber nach, wo hier ein Exponent \(r+1\) herkommen sollte?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Ups, war wohl etwas verwirrt.
\(p^r + (r+1)*(1-p^r) = p^r + r + 1 - p^r*r - p^r = 1+r-p^r*r\)

Ich habe auch direkt in \(\Delta \) eingesetzt:
\(\Delta = \frac{r-1-r+p^r*r}{r} = \frac{p^r-1}{r} = p^r-\frac{1}{r}\)

Dazu habe ich mir auch mal die (b) überlegt:
Für welche \(p\) ist \(\Delta > 0\)
\(p^r-\frac{1}{r} >0\)
\(p^r >\frac{1}{r}\)
Da r mindestens 2 ist, gilt das ja für alle p oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-05-31 11:24 - rom08 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ups, war wohl etwas verwirrt.
\(p^r + (r+1)*(1-p^r) = p^r + r + 1 - p^r*r - p^r = 1+r-p^r*r\)

Das passt jetzt.

2020-05-31 11:24 - rom08 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich habe auch direkt in \(\Delta \) eingesetzt:
\(\Delta = \frac{r-1-r+p^r*r}{r} = \frac{p^r-1}{r} = p^r-\frac{1}{r}\)

Dazu habe ich mir auch mal die (b) überlegt:
Für welche \(p\) ist \(\Delta > 0\)
\(p^r-\frac{1}{r} >0\)
\(p^r >\frac{1}{r}\)
Da r mindestens 2 ist, gilt das ja für alle p oder?

Dein \(\Delta\) ist auch richtig. Aber das wäre ja schon als (transzendente!) Gleichung nur noch mittels eines solchen Geschützes wie der LambertW-Funktion lösbar, und ich glaube nicht, dass so etwas hier angedacht ist.

Du solltest die erste Frage von Teil b) besser durch eine geschickte Abschätzung lösen.

Für die Fragen mit den konkreten Werten für \(p\) könnte man mit Differentialrechnung arbeiten...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Für die Abschätzung hätte ich dann:
\(p^r*r >1 \)
Ich vermute mal, ich sollte irgendwo benutzen, dass \(r>=2\) ist oder? Aber wo?

Bezüglich der konkreten p-Werte:
Ich habe mir das als Funktion abhängig von r vorgestellt.
\(\frac{d}{dr}(0.85^r-\frac{1}{r} )= 0.85^r*ln(0.85)+\frac{1}{r^2}\)
Dann müsste ich das 0 setzen oder? Wie würde das in dem Fall gehen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-05-31 12:52 - rom08 in Beitrag No. 8 schreibt:
Für die Abschätzung hätte ich dann:
\(p^r*r >1 \)
Ich vermute mal, ich sollte irgendwo benutzen, dass \(r>=2\) ist oder? Aber wo?

\[p^r>\frac{1}{2}\ge\frac{1}{r}\]
2020-05-31 12:52 - rom08 in Beitrag No. 8 schreibt:
Bezüglich der konkreten p-Werte:
Ich habe mir das als Funktion abhängig von r vorgestellt.
\(\frac{d}{dr}(0.85^r-\frac{1}{r} )= 0.85^r*ln(0.85)+\frac{1}{r^2}\)
Dann müsste ich das 0 setzen oder? Wie würde das in dem Fall gehen?

Ok, wenn du das mit dem Optimum auch auf das \(\Delta\) beziehst, dann geht es nicht ohne Rechenhilfsmittel. Streng genommen ist das wohl die korrekte Lesart der Aufgabe.

Ich war da jetzt etwas spitzfindig und habe diese Frage wieder auf den Erwartunsgwert bezogen...


Gruß, Diophant
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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Hm ok.
Also wenn \(p^r > 1/2 \ge 1/r\)
dann wäre \(p>\frac{1}{\sqrt[r]{2}}\), das p für welches \(\Delta > 0 \) ist?

Ich bekomme leider trotzdem kein konkretes r heraus, wie muss ich hier denn vorgehen?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-31

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Hallo,

2020-05-31 16:40 - rom08 in Beitrag No. 10 schreibt:
Hm ok.
Also wenn \(p^r > 1/2 \ge 1/r\)
dann wäre \(p>\frac{1}{\sqrt[r]{2}}\), das p für welches \(\Delta > 0 \) ist?

Ich bekomme leider trotzdem kein konkretes r heraus, wie muss ich hier denn vorgehen?

Nachdenken. Wir wissen \(r\ge 2\). Wie groß muss \(p\) sein, damit \(p^2>\frac{1}{2}\) gilt?

Es kann durchaus sein, dass die Ungleichung für größere \(r\) nicht mehr gilt. Es heißt in der Aufgabe ja nicht umsonst:

2020-05-30 13:02 - rom08 im Themenstart schreibt:
(b) Für welche Werte von p kann man eine Gruppengröße \(r>=2\) finden, so dass die Gruppenprüfung der Einzelprüfung überlegen ist...

Also eine konkrete Gruppengröße reicht.


Gruß, Diophant
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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Damit \(p^2 > \frac{1}{2}\) muss \(p > \frac{1}{\sqrt{2}}\) sein.
Und ganz allgemein für \(p^r\): \(p > \frac{1}{2^{\frac{1}{r}}}\)

Bei dem Punkte wo ich das optimale r für die angegebenen p finden muss habe ich noch Probleme.
Grundsätzlich müsste Ableitung 0 setzen mir das Maximum und somit optimale r liefern oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-05-31 17:02 - rom08 in Beitrag No. 12 schreibt:
Damit \(p^2 > \frac{1}{2}\) muss \(p > \frac{1}{\sqrt{2}}\) sein.
Und ganz allgemein für \(p^r\): \(p > \frac{1}{2^{\frac{1}{r}}}\)

Richtig. Wobei du wie gesagt nach meinem Verständnis den allgemeinen Fall nicht betrachten musst. Wenn \(p>\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), dann gibt es ein \(r\), das den Anforderungen genügt. Ein einziges solches \(r\) gilt es nachzuweisen, also ist man an dieser Stelle fertig.

2020-05-31 17:02 - rom08 in Beitrag No. 12 schreibt:
Bei dem Punkte wo ich das optimale r für die angegebenen p finden muss habe ich noch Probleme.
Grundsätzlich müsste Ableitung 0 setzen mir das Maximum und somit optimale r liefern oder?

Ja. Und wenn man da diese relative Ersparnis pro Person nimmt, dann ist diese Gleichung so, dass man einen TR mit Solve-Funktion haben sollte (oder ein vergleichbares Rechenhilfsmittel).

Man könnte eben ersatzweise den Erwartungswert minimieren, dann wird die Rechnung bedeutend einfacher. Aber ich gebe wie gesagt zu: das ist eine relativ kühne Deutung der Aufgabenstellung.


Gruß, Diophant
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rom08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


Also müsste ich \(p^r-\frac{1}{r}\) ableiten und 0 setzen.
\(\frac{d}{dr} p^r-\frac{1}{r} = p^r * ln(p) +\frac{1}{r^2}\)
Ich habe versucht diesen Ausdruck 0 zu setzen, hat aber mit CAS nicht funktioniert. Woran kann das liegen? Es müsste doch auch gehen wenn p noch kein konkreter Wert ist.



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Hallo,

nun, das liegt am verwendeten CAS. Ich habe es zuerst mit Maxima versucht, das scheitert krachend, auch mit Zahlen. Dann habe ich mein Mathcad angeworfen, und siehe da:

\[r=\frac{e^{-\on{LambertW}\left(\frac{\sqrt{\ln(p)}}{2}\cdot i\right)}\cdot i}{\sqrt{ln(p)}}\]
😎

Aber wie oben schon geschrieben, das kann ja nicht der Sinn der Aufgabe sein.

Aus diesem Grund soll man diese optimalen Werte ja auch nur für konkret vorgegebene \(p\) bestimmen.

Vermutlich ist dann entweder über eine Lösung per grafikfähigem Taschenrechner/Funktionsplotter gedacht, oder eben durch Probieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rom08
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Ja, danke das hat mir sehr weitergeholfen.



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rom08 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
rom08 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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