Matroids Matheplanet Forum Index
Forumbereich moderiert von: Curufin epsilonkugel
Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Injektivität in mehrdimensionalen Räumen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Universität/Hochschule Injektivität in mehrdimensionalen Räumen
elbowUpHisButt Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 10.06.2020, Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Themenstart: 2020-06-22

Wir haben \(f: \IR^n\mapsto \IR^n\) stetig differenzierbare Funktion, wobei \(\langle Df(x)(v), v \rangle\)>0 für alle \(x\in \IR^n\) und \(\langle v, w \rangle\) ist der Standardskalarprodukt (mit \(Df(x)(v)\) ist hier Ableitung von f in x angewendet auf v gemeint). Jetzt ist zu zeigen dass f injektiv ist.
 Mein Tutor meinte ich sollte mir dazu erstmal die Ableitung der Funktion \(g: \IR\mapsto \IR\), \(t\mapsto \langle f(a+tb), b \rangle\),\(a,b\in \IR^n\) angucken.
Jedoch krieg ich das mit Ableiten nicht so hin. Man kann natürlich g als verkettung von diversen Funktion und skalarprodukt aufschreiben, sodass im Endeffekt g abgeleitet Summe von Sk.produkten ist, weil Sk.p eine bilinearform ist und somit nicht kleiner als 0. Aber ich sehe nicht wie das weiterhilft



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.02.2019, Mitteilungen: 1128
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo elbowUpHisButt,

die Ableitung von $g$ ist per Definition nichts anderes, als die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $b$ an der Stelle $a$, also $\D_b f(a)$. Das ist einfach $\D f(a)(b)$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 23.01.2008, Mitteilungen: 2419
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

soll die Zielmenge von $f$ wirklich $\IR$ sein? Dann wäre nämlich $\mathrm Df(x):\IR^n\to \IR$ eine lineare Abbildung und somit $\mathrm Df(x)(v)\in \IR$.
Der Ausdruck $\langle \mathrm Df(x)(v), v \rangle$ ergibt demnach nur Sinn, wenn $n=1$.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbowUpHisButt Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 10.06.2020, Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22

Hallo Vercassivelaunos
Danke fur die Antwort) ich seh allerdings ich habe hier unsinn geschrieben
Es sollte eigentlich heißen \(g(t)\)=\(\langle f(a+tv, v \rangle\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbowUpHisButt Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 10.06.2020, Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22

Hallo Nuramon
Das stimmt) hab jetzt alles korrigiert. Danke für den Hinweis)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 23.01.2008, Mitteilungen: 2419
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wo ist das Problem: Weißt du nicht, wie man die Ableitung von $g$ berechnet oder ist dir unklar wozu diese gut sein könnte?
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbowUpHisButt Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 10.06.2020, Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22

So wie ich das verstehe, ist g injektiv wenn g'(t)>0 ist. Zum Ausrechnen von g'(t) muss ich einfach den Skalarprodukt ableiten. Ich kapiere aber nicht wie aus Injektivität von g Injektivität von f folgt. Falls das denn überhaupt der richtige Weg ist bzw. Der Grund wieso man so ein g betrachtet



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 23.01.2008, Mitteilungen: 2419
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Angenommen es gäbe $x\not=y$ mit $f(x)=f(y)$.
Wir versuchen jetzt einen Widerspruch herzuleiten, indem wir uns nur die Funktionswerte von $f$ entlang der Strecke zwischen $x$ und $y$ ansehen. Wähle dazu $a,b$ so, dass $a+tb, t\in[0,1]$ diese Strecke beschreibt.

Kannst du durch Betrachtung der Funktion $g$ dann einen Widerspruch herleiten? Tipp:
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbowUpHisButt Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 10.06.2020, Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22

Vielen Dank!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
viganme Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 04.04.2020, Mitteilungen: 41
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-25
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-22 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
 Weißt du nicht, wie man die Ableitung von $g$ berechnet

Wie berechnet man den die Ableitung von $g$?
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 23.01.2008, Mitteilungen: 2419
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-26
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Man kann
\[g: \IR\mapsto \IR, \quad t\mapsto \langle f(a+tb), b \rangle, \quad a,b\in \IR^n\] als Verknüpfung von drei Abbildungen schreiben:
$t\mapsto x:= a+tb$ (affin linear),
$x\mapsto y:=f(x)$ und
$y\mapsto \langle y,b\rangle$ (linear).

Den Rest erledigt die Kettenregel.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
elbowUpHisButt hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elbowUpHisButt hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
elbowUpHisButt wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]