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Wir benutzen Zylinderkoordinaten, das heißt jeder Punkt auf der ''Helix'' ist durch Radius und Höhe in Abhängigkeit vom Winkel in der xy-Ebene definiert in Form zweier Funktionen r(\phi) und z(\phi). 

Der Konus steht bei mir mit der Spitze im Koordinatenursprung und öffnet sich nach oben. Die Steigung der Konuswand sei k, dh es ist

z(\phi) = k*r(\phi)

Das Streckensegment in Polarkoordinaten (also die Projektion in die xy_Ebene) ist gegeben durch

d\dsl = \sqrt(r'(\phi)^2 + r(\phi)^2)

Sei a die gewünschte Steigung der Helix, das heißt es soll in jedem Punkt gelten:

a = z'(\phi) / (\dsl '(\phi))

Einsetzen liefert die DGL:

a = (k r'(\phi)) / \sqrt(r'(\phi)^2 + r(\phi)^2)

Das sieht erst etwas unschön aus, vereinfacht sich aber zu 

sqrt(k^2-\alpha^2)/\alpha r'(\phi) = r(\phi)

und liefert damit die Lösung

r(\phi) = R_0 e^\lambda\phi

mit 

\lambda = \alpha/sqrt(k^2-\alpha^2)
  
(Denk- und Rechenfehler vorbehalten).

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\dsl '(\phi) = sqrt(r'(\phi)^2+r(\phi)^2+z'(\phi)^2)

was wegen z'(\phi) = k*r'(\phi) in den obigen Gleichungen keine zusätzlichen Probleme bereitet. Tatsächlich ergibt sich nur ein anderer Wert für die Konstante \lambda in der Lösungsfunktion.

r'(\phi) 

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Ich parametriere die Kurve durch den Winkel \phi, das heisst die Funktionen r,z und \dsl sind jeweils Funktionen von \phi. Dabei ist \dsl die Länge der Kurve (in der Projektion auf die xy-Ebene). 

r'(\phi) ist die Änderung des Radius bei Änderung des Winkels.

Das ''Steigungsdreieck'', also welche Höhendifferenz jeweils in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke, ist in diesem Fall der Quotient aus der Höhenänderung und der Längenänderung, also z' durch \dsl '.

z(\phi)= -k * r(\phi), oder?