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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Symmetrische Sesquilinearformen / Gram'sche Matrizen
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Universität/Hochschule Symmetrische Sesquilinearformen / Gram'sche Matrizen
mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-25


Liebes Forum,

ich soll entscheiden, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

Zu zwei beliebigen Sesquilinearformen \(\sigma\) und \(\sigma '\) auf einem endlichdimensionalen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum \(V\) mit komplexer Konjugation als Körperautomorphismus kann man stets Basen \(B\) und \(B'\) von \(V\) finden, so dass ihre Gramschen Matrizen gleich sind.
\(\Gamma_{B}(\sigma) = \Gamma_{B'}(\sigma ')\)


Als einfaches Gegenbeispiel würde ich die Abbildungen

\(\sigma : V \times V \rightarrow K; (v,w) \mapsto 0\) und für
\(\sigma '\) ein beliebiges Skalarprodukt wählen, da dann \(\forall v \in V: \sigma '(v,v) \neq 0\), die Matrix \(\Gamma_{B'}(\sigma ')\) kann also, ungeachtet der gewählten Basis \(B'\) nie die Nullmatrix sein.

Meine Frage ist: Ist diese Aussage mit gewissen Einschränkungen richtig (z.B. wenn man die Nullabbildung ausschließt) und wie würde man das belegen ?



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