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Strukturen und Algebra » Gruppen » nichtabelsche Gruppe beweisen
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Universität/Hochschule nichtabelsche Gruppe beweisen
NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo,

ich sitze an folgender Aufgabe und hätte eine Nachfrage:
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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03


Hallo,

ja, das wird man so machen müssen. Die Hälfte hast du ja in Sachen Assoziativgesetz schon geschafft.

Das neutrale Element ist schnell gefunden, beim Inversen wird nochmal eine Fallunterscheidung notwendig sein.

Für die Tatsache, dass die Gruppe nichtabelsch ist, könntest du dann noch ein einfaches (Gegen-)Beispiel anführen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Diophant]



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NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Hallo,

danke für die Antwort. War mir beim Vorgehen nicht ganz sicher.
Habe jetzt alle bis auf das inverse Element.

An sich bedeutet, dass doch das -a das inverse Element ist wenn 2 a teilt und a wenn 2 a nicht teilt (sprich Selbstinvers).

Gibt es dabei einen Weg, dass zu beweisen oder muss ich, dass nur einmal vorzeigen sprich:

(2 teilt a):

a*(-a)=a+(-a)=a-a=0

(2 teilt nicht a):

a*(a)=a-a=0




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03


Hallo,

2020-12-03 12:13 - NameWarVergeben in Beitrag No. 2 schreibt:
danke für die Antwort. War mir beim Vorgehen nicht ganz sicher.
Habe jetzt alle bis auf das inverse Element.

An sich bedeutet, dass doch -a ist das inverse Element wenn 2 a teilt und a wenn 2 a nicht teilt (sprich Selbstinvers).

Genau.

2020-12-03 12:13 - NameWarVergeben in Beitrag No. 2 schreibt:
Gibt es dabei einen Weg, dass zu beweisen oder muss ich, dass nur einmal vorzeigen sprich:

(2 teilt a):

a*(-a)=a+(-a)=a-a=0

Ich würde es etwas anders aufziehen, denn es sollte ja schon klar werden, dass das inverse Element jeweils eindeutig bestimmt ist. Gib dem Inversen einmal einen Namen und rechne zur Sicherheit auch für beide Fälle nach, dass insbesondere Links- und Rechtsinverses gleich sind. Oder begründe das noch geeignet.


Gruß, Diophant



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2504
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

es gilt $a*b = a+(-1)^ab$. Damit kannst du z.B. das Assoziativgesetz ohne Fallunterscheidungen beweisen.

Die Verknüpfung erinnert mich an die Definition eines semidirekten Produktes, aber ich schaffe es gerade nicht den Zusammenhang herzustellen. Vielleicht gibt es so noch einen abstrakteren Weg zu begründen, dass hier eine Gruppe vorliegt (vorausgesetzt natürlich, man kennt semidirekte Produkte). Vermutlich ist $G$ isomorph zur Untergruppe $\{(a,b)\in \IZ\rtimes_\theta \IZ/2 \mid a \equiv b \pmod 2\}$ von $\IZ\rtimes_\theta \IZ/2$, wobei $\theta: \IZ/2 \to \operatorname{Aut}(\IZ), x \mapsto (n\mapsto (-1)^xn)$.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Mitteilungen: 5269
Herkunft: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-06


Ich wollte sowas wie Nuramon schreiben. Hier eine Verallgemeinerung:

Sei $G = (|G|,\cdot)$ eine Gruppe. Sei $\varphi : G \to \mathrm{Aut}(G)$ ein Homomorphismus mit der (seltsamen) Eigenschaft

$(1) \qquad \varphi(\varphi(a)(b)) = \varphi(b)$

für alle $a,b \in |G|$. In der Aufgabe hier ist $G=(\IZ,+)$ mit $\varphi(a)(b) = (-1)^a b$.

Definiere auf $|G|$ die Verknüpfung $\ast$ durch

$a \ast b := a \cdot \varphi(a)(b).$

Dann ist $(|G|,\ast)$ eine Gruppe. Das rechnet man stur nach, jeder Schritt ist erzwungen, und tatsächlich ist $(1)$ äquivalent zur Assoziativität von $\ast$.



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