| Autor |
  Grenzwertsätze limes superior und inferior |
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sina1357
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Hallo zusammen,
ich suche ein Beispiel dafür, dass die Grenzwertsätze nicht für limes sup und limes inf gelten.
Also meine Idee war es als an=(-1)^n zu wählen, aber bei meinen bisherigen Versuchen stimmte lim sup (an*bn) = lim sup (an) * lim sup (bn) immer überein. Gleiches gilt für die Addition.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Nuramon
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
$a_n=(-1)^n$ ist schon mal eine gute Wahl. Welche $b_n$ hast du denn bisher ausprobiert?\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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Ok, als bn habe ich (-1)^n, (-1)^n+1, 1/(-1)^n ausprobiert..
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sina1357
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04
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lim sup (-1)^n=1
lim inf (-1)^n=-1
limsup (-1)^n*(-1)^n=limsup (-1)^2n = 1
limsup (-1)^n*(-1)^n=limsup (-1)^2n = -1
Oder habe ich hier einen Fehler eingebaut?
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Nuramon
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| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Nein, da ist kein Fehler. Von den letzen beiden Zeilen ist nur eine richtig.
Die Folgen, die du bisher betrachtet hast, haben alle die Eigenschaft, dass die Teilfolgen $a_{2n}$ bzw. $b_{2n}$ gegen $\limsup a_n$ bzw. $\limsup b_n$ konvergieren. Außerdem konvergieren $a_{2n+1}$, $b_{2n+1}$ jeweils gegen $\liminf a_n$ bzw. $\liminf b_n$. Schließlich gilt auch noch $\liminf a_n \cdot \liminf b_n \leq \limsup a_n \cdot \limsup b_n$.
Suche nach Folgen $b_n$, die nicht alle diese Eigenschaften haben.\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06
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Ah danke, in der letzten Zeile muss es der liminf sein.
Komme ich mit einer konvergenten Folge weiter?
z.B.
limsup 1/n = lininf 1/n = 0
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sina1357
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06
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Ich habe etwas herumprobiert und mit -an eine passende Folge gefunden
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