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Universität/Hochschule J Konvergenz einer Folge zeigen
elbantar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-03


Hallo Liebe Community,

ich habe folgendes Problem. Ich soll die Folge \(c_n=\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n\), mit \(\alpha ,\beta\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}\) auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen.

Ich weiß, dass die Folge gegen \(\frac{\alpha}{2}\) konvergiert. Aber wie zeige ich das??
Ich dachte daran, vielleicht die Definition von Konvergenz anzuwenden und den Betrag, \(|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\) nach oben hin abzuschätzen.

Dann würde ja gelten:
\(|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|\leqslant |n^2+\alpha n+\beta|<\epsilon\)
und da nun alles im Betrag positiv ist, kann ich die Betragsstriche auch weg lassen, aber was nun?

Vielen Dank für eure Unterstützung!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-03

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Hallo,

bei Differenzen von Wurzeln hilft häufig der Trick $\sqrt a - \sqrt b = \frac {a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$ weiter.
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elbantar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-12-03 23:34 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

bei Differenzen von Wurzeln hilft häufig der Trick $\sqrt a - \sqrt b = \frac {a-b}{\sqrt a + \sqrt b}$ weiter.

Aber in dem Fall habe ich ja gar keine Differenz von Wurzeln, oder habe ich da etwas übersehen?

Aber mir ist aufgefallen, ich brauche doch eine Fallunterscheidung für Alpha und Beta oder? Sie können ja entweder beide gleich 0, größer 0 oder je einer gleich 0 sein. Allerdings erschließt sich mir das Vorgehen vom Epsilon Kriterium absolut nicht. :(
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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Kannst du $c_n$ als Differenz zweier Wurzeln schreiben?

Dein bisheriger Ansatz wird nicht funktionieren, da die Abschätzung $|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|$ viel zu grob ist: Die rechte Seite ist unbeschränkt.
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elbantar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-12-03 23:42 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Kannst du $c_n$ als Differenz zweier Wurzeln schreiben?

Dein bisheriger Ansatz wird nicht funktionieren, da die Abschätzung $|\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-n-\frac{\alpha}{2}|\leqslant |\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}|$ viel zu grob ist: Die rechte Seite ist unbeschränkt.

Ohne die Folge an sich zu verändern könnte man ja schreiben:

\(c_n=\sqrt{n^2+\alpha n+\beta}-\sqrt{n^2}\), da \(\sqrt{n^2}=n\)

Dann kann ich es mal mit deinem Tipp versuchen.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-03


Ja, so habe ich das gemeint.



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