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| Autor |
 Beweis für Identität der Totalvariationsfunktion |
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Mandacus
Aktiv 
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 183
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Guten Abend,
Ich habe eine Schwierigkeit bei der Formalisierung einer Beweisidee einer Identität der Totalvariationsfunktion.
Sei $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ absolut stetig. Die Totalvariationsfunktion von $f$ sei definiert durch
$$
F(x) = \sup_{a=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|, \quad x\in[a,b].
$$
Zeige, dass für $x,y\in [a,b]$ mit $y<x$ die Identität
$$
F(x)-F(y)=\sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|
$$
gilt.
Meine Idee bestand darin zu zeigen, dass
$$
F(x)-F(y) \geq \sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|
\tag{1}
$$
und
$$
F(x)-F(y) \leq \sup_{y=t_0<t_1<\dots<t_N=x} \sum_{i=1}^{N} |f(t_i)- f(t_{i-1})|.
\tag{2}
$$
(1) habe ich bereits zeigen können. Ich habe aber das Problem den Beweis bei (2) korrekt zu formulieren. Ich habe damit angefangen, dass ich zwei beliebige Zerlegungen
$$
a=t'_0<...<t'_K=y \ \text{von} \ [a,y]
$$
und
$$
a=t^{''}_0<...<t^{''}_L=x \ \text{von} \ [a,x]
$$
betrachte. Nun wollte ich eine gemeinsame Verfeinerung
$$
a=t_0<...t_N=x
$$
dieser Zerlegung betrachten, die alle Zerlegungspunkte der beiden Zerlegungen auf $[a,y]$ enthält. Dabei sei $\tilde{K}$ der Index für den $t_{\tilde{K}}=y$ gilt
Ich wollte nun die Abschätzung
$$
\sum_{i=1}^L |f(t^{''}_i)-f(t^{''}_{i-1})|
-\sum_{i=1}^K |f(t^{'}_i)-f(t^{'}_{i-1})| \\
\leq \sum_{i=1}^N |f(t_i)-f(t_{i-1})|
-\sum_{i=1}^{\tilde{K}} |f(t_i)-f(t_{i-1})|
$$
zeigen, da ich dann die Abschätzung (2) bekommen würde. Allerdings müsste ich dazu die Funktionswerte der zusätzlichen Zerlegungspunkte durch Nullergänzung einfügen und die Dreiecksungleichung anwenden. Das Problem ist, dass sich das ja auch auf den zweiten Summanden auswirkt und die Abschätzung, die ich zeigen möchte, vielleicht gar nicht funktioniert. Gibt es es noch einen anderen Weg, das hinzubekommen?
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3788
Herkunft: Raun
|      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-06
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Hallo Mandakus,
schreibe \(F(y)\) mit auf die rechte Seite der Ungleichung. Dann braucht man für eine beliebige Zerlegung auf der linken Seite nur einen Intervallpunkt ergänzen, um eine Zerlegung der rechten Seite zu erhalten. Für den kann man dann die Dreiecksungleichung anwenden.
Viele Grüẞe,
Stefan
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