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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » invarianter Unterraum durch das orthogonale Komplement
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Universität/Hochschule J invarianter Unterraum durch das orthogonale Komplement
ghostde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18


Hallo,

Ich suche Ideen für folgende Aufgabe.

Sei \((V,\langle-,- \rangle)\) ein unitärer Vektorraum und \(f\in End(V)\)

Falls \(U\) ein \(f-invarianter\) Unterraum ist, d.h. \(f(U) ⊆ U\), so ist \(U\bot\) ein \(f*-invarianter\)Unterraum.

Ich habe mir alle Definitionen mal aufgeschrieben, aber ich komme nicht weiter.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

das ist ein Fall für Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann.

Fange damit an, aufzuschreiben, was es bedeutet, dass $U^\perp$ $f^*$-invariant ist.
\(\endgroup\)


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ghostde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)2021-05-18 20:58 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

das ist ein Fall für Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann.

Fange damit an, aufzuschreiben, was es bedeutet, dass $U^\perp$ $f^*$-invariant ist.
\(\endgroup\)

$U^\perp$ $f^*$-invariant \(\leftrightarrow f^* (U^\perp) \subseteq U^\perp\) mit \(U^\perp =   \{ v \in V | \langle v,x \rangle = 0, \forall x \in U \}\)



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ghostde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Und für f* gilt ja \(\langle x,f(y)\rangle = \langle f^*(x), y \rangle \ \forall x,y \in V\)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Genau.

Und um $f^*(U^\perp)\subseteq U^\perp$ zu zeigen, musst du zeigen, dass für jedes $v\in U^\perp$ gilt, dass $f^*(v)\in U^\perp$.

Was muss man dafür gemäß Definition von $U^\perp$ nachweisen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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ghostde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Das mindestens ein x existiert, für das \(\langle f^*(v),x\rangle = 0\) gilt.

Ich schreibe schonmal meine Gedanken:

Das ist äquivalent zu \(\langle v,f(x)\rangle = 0\)

Und das können wir daraus folgern, da U ein f-invarianter Unterraum ist.

Aber warum genau können wir das letzte dann folgern?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-05-18 21:44 - ghostde in Beitrag No. 5 schreibt:
Das mindestens ein x existiert, für das \(\langle f^*(v),x\rangle = 0\) gilt.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Das stimmt nicht. Überprüfe nochmal welcher Quantor da stehen sollte und gib außerdem an, aus welcher Menge $x$ kommen soll.
\(\endgroup\)


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ghostde
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Ah, stimmt. Es soll für alle \(x \in U\) gelten.



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Nuramon
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Genau. Kannst du damit deine Gedanken aus No.5 zu einem Beweis machen?



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ghostde
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Sei \((V,\langle-,- \rangle)\) ein unitärer Vektorraum und \(f\in End(V)\)

Z.z.: \(f^*(U^\perp)\subseteq U^\perp\)

Wir wählen ein \(v\in U^\perp\). Dann muss für \(\forall x \in U : \langle f^*(v),x \rangle = 0\) gelten.
Da \(\langle x,f(y)\rangle = \langle f^*(x), y \rangle \ \forall x,y \in V\) gilt ist dies äquivalent zu \(\forall x \in U:\langle v,f(x)\rangle = 0\)
Dies folgt, da U ein f-invarianter Unterraum ist.

Aber warum kann ich das letzte folgern?



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
$U$ ist $f$-invariant. Was kannst du daher über $f(x)$ aussagen?
\(\endgroup\)


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\(f(x)\) ist wieder in U



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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ja. Warum folgt dann, dass $\langle v,f(x)\rangle = 0$ ist?
\(\endgroup\)


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ghostde
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Weil \(v \in U^\perp\). Dann ist v orthogonal zu f(x), also ist \(\langle v,f(x)\rangle = 0\)



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Nuramon
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Genau.

Jetzt hast du alles, was du für den Beweis brauchst da stehen. Du musst es nur noch sauber aufschreiben (zur Zeit ist die Argumentationsreihenfolge teilweise verkehrt herum).



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Ja danke. Ja, jetzt wo alles dasteht fällt mir auch auf das ich an manchen Stellen falsch rum gedacht habe. Vielen Dank!



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