Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Autor
Universität/Hochschule Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Themenstart: 2021-10-22

Hi! Ich habe 2 Zufallsvariablen $X,Y$ auf einem Maßraum $(\Omega, \mathcal{A},\mu)$ (genauer sind beide normalverteilt mit unterschiedlichem Erwartungswert aber gleicher Varianz), die nach Voraussetzung unabhängig sind. Dann müssten doch eigentlich auch die 2 Zufallsvariablen $X_1 := X-Y$ und $Y_1 := X+Y$ unabhängig sein, richtig? ich kenne den Satz mit der Partitionierung der Zufallsvariablenmenge, wo die Unabhängigkeit erhalten bleibt, wenn auf jede Teilmenge der Partition eine messbare Abbildung angewandt wird. Hier in meinem Fall wäre das dann wohl: Partition von $\{X,Y \}$ in $A_1 := \{X\}$ und $A_2:= \{Y \}$ mit den beiden messbaren Abbildungen $g_1 (X) := X-Y$ und $g_2(Y) := X+Y$. Ist das korrekt so? Viele Grüße!


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2957
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 07:29 - GaussGauss im Themenstart) $g_1 (X) := X-Y$ und $g_2(Y) := X+Y$. Ist das korrekt so? \quoteoff Nein: Auf der rechten Seite tauchen beide Male $X$ und $Y$ auf, auf der linken einmal nur $X$ und einmal nur $Y$. Das passt nicht zusammen. --zippy


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Hi zippy, Das heißt: $X_1 = X-Y$ und $Y_1 = X+Y$ sind mit den oben genannten Voraussetzungen nicht immer unabhängig? Oder meinst du, dass nur meine Argumentation nicht stimmt und sie schon unabhängig sind? Grüße


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-22

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-10-22 09:30 - GaussGauss in Beitrag No. 2) Das heißt: $X_1 = X-Y$ und $Y_1 = X+Y$ sind mit den oben genannten Voraussetzungen nicht immer unabhängig? Oder meinst du, dass nur meine Argumentation nicht stimmt und sie schon unabhängig sind? \quoteoff Moin, wenn $X$ und $Y$ unabhaengig normalverteilt sind, ist der Zufallsvektor $(X,Y)$ bivariat normalverteilt, also auch $(X-Y,X+Y)$. Da $X-Y$ und $X+Y$ *unkorreliert* sind, sind sie auch unabhaengig. Dass dieser Schluss gilt, ist eine Besonderheit der mehrdimensionalen Normalverteilung. vg Luis\(\endgroup\)


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2957
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 10:26 - luis52 in Beitrag No. 3) Da $X-Y$ und $X+Y$ *unkorreliert* sind \quoteoff Und in den Nachweis, dass sie es sind, gehen bisher ungenutzt gebliebene Voraussetzungen aus dem Startbeitrag ein.


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 10:42 - zippy in Beitrag No. 4) Und in den Nachweis, dass sie es sind, gehen bisher ungenutzt gebliebene Voraussetzungen aus dem Startbeitrag ein. \quoteoff Oh ja, ganz wichtig!


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Danke euch beiden! Eigentlich geht es mir nur darum zu zeigen, dass $(X-Y,X+Y)$ bivariat normalverteilt ist. (genauer erhalte ich $(X-Y,X+Y) \sim \mathcal{N}_2(\mu_X - \mu_Y, \displaystyle\left( \begin{matrix} 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 \\ \end{matrix} \displaystyle\right) $ , dieses Ergebnis sollte so passen) - dies habe ich nun über die Charakterisierung von affin linearen Transformationen eines i.i.d Vektors von Standardnormalverteilungen geschafft. Da ihr nun aber sagt, es gebe ungenutzte Voraussetzungen, interessiert mich dieser Ansatz auch noch. Die einzige Voraussetzung, die ich sehe, ist dass $X$ und $Y$ eben nach VS. unabhängig sind und dass beide gleiche Varianz haben - mehr ungenutzte VS. sehe ich nicht bzw. weiß ich nicht, wie ich aus diesen auf die Unabhängigkeit von $X_1$ und $Y_1$ schließen könnte. Grüße


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-22

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-10-22 11:41 - GaussGauss in Beitrag No. 6) Da ihr nun aber sagt, es gebe ungenutzte Voraussetzungen, interessiert mich dieser Ansatz auch noch. \quoteoff Wie hast du denn $\operatorname{Cov}[X+Y,X-Y]=0$ nachgewiesen? \(\endgroup\)


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Hi luis, $Cov(X-Y,X+Y) = E((X-Y)(X+Y)) - E(X-Y)E(X+Y) = ...= 0$ einfach mit den Rechenregeln für den Erwartungswert, Ausnutzen, dass $X,Y$ gleiche Varianz haben und dass $E(X^2) - E(X)^2 = V(X)$, selbes für $Y$ Grüße


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-22

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-10-22 12:10 - GaussGauss in Beitrag No. 8) Ausnutzen, dass $X,Y$ gleiche Varianz haben \quoteoff Genau darum ging's. vg Luis\(\endgroup\)


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-22

Danke luis! Wie würde daraus jetzt folgen, dass die beiden ZV's auch unabhängig sind? Du sagtest, das wäre bei der Normalverteilung der Fall (allgemein folgt aus Cov$=0$ ja eben nicht die Unabhängigkeit). Wie gesagt habe ich es ja bereits auf anderem Wege zeigen können - eine Lösungsidee wäre dennoch interessant für diesen Schritt. Grüße


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-22

\quoteon(2021-10-22 12:55 - GaussGauss in Beitrag No. 10) Wie würde daraus jetzt folgen, dass die beiden ZV's auch unabhängig sind? Du sagtest, das wäre bei der Normalverteilung der Fall \quoteoff Z.B. indem man zeigt, dass die gemeinsame Dichte so faktorisiert werden kann, dass die Unabhaengigkeit direkt abgelesen werden kann. Geht auch mit der momentenerzeugenden (oder charakterischen) Funktion. Google mal Normal distribution independent uncorrelated.


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

Hi luis, Danke. Bei den char. Funktionen kenne ich nur die Implikation: Wenn unabhängig, dann ist die char. Fkt. der Summe das Produkt der einzelnen char. Fkt. Grüße


   Profil
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 629
  Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-23

Sieh mal hier unter Characteristic function. vg Luis


   Profil
GaussGauss
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Hi luis, Danke! Interessant... Grüße


   Profil
GaussGauss hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]