| Autor |
 Koordinatenabbildung integrierbar |
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QuigonJin
Junior 
Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2021-11-24
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Hallo,
ich bin gerade bei folgender Aufgabe ein wenig ratlos.
Wir haben die \(k\)-te Koordinatenabbildung für \(k\in\{1,...,n\}\) \(\pi_k:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\pi_k(x_1,...,x_n):=x_k\)
Außerdem haben wir eine beschränkte Borel-Menge \(B\subseteq \mathbb{R}^n\).
Ich soll nun zeigen, dass \(\pi_k\) über \(B\) integrierbar ist.
Mir fehlt gerade jeglich Idee, wie ich das angehen kann.
Ich freue mich über jede Hilfe
VG Quigon
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Triceratops
Aktiv 
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Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25
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Es gilt $\int_B \pi_k(x) dx = \int_{\IR^n} \pi_k(x) \chi_B(x) \, dx$. Nun überlege dir mal, wie die Funktion $x \mapsto \pi_k(x) \chi_B(x)$ eigentlich konkret aussieht. Es kann nicht schaden, ein Beispiel für $n=2$ aufzumalen.
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QuigonJin
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hi Triceratops,
ich habe ein wenig Probleme mir die Abbildung vorzustellen, weil ich durch die Abbildung \(\pi_k\) etwas verwirrt bin.
Meine Überlegung wäre folgendes:
\(\pi_k(x)\chi_B(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x_k & x \in B \\
0 & \, \textrm{sonst} \\
\end{array}
\right.\)
Aber ich verstehe einfach nicht, was ich mir unter \(\pi_k\) vorstellen kann
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1507
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
$\pi_k$ ist einfach die Projektion auf die $k$-te Koordinate. Eigentlich sind die Abbildungen $\pi_k$ gerade das, was wir unter den Koordinaten verstehen.
Zum Beispiel in $\mathbb R^2$: Gegeben einen Punkt $(a,b)$, so ist $\pi_1(a,b)=a$ und $\pi_2(a,b)=b$.
LG Nico\(\endgroup\)
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QuigonJin
Junior
Dabei seit: 24.11.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Okay, ich glaube ich kann mir mittlerweile \(\pi_k\) ganz gut vorstellen, habe allerdings überhaupt keine Idee, wie ich die Integrierbarkeit zeigen könnte :/
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Dann nimm dir doch Triceratops Tipp zu Herzen und mal eine beschränkte Borelmenge im Fall $n=2$ einfach mal auf und überlege dir, wie die Abbildung $\mathbb R^2\to \mathbb R, \ x\mapsto \pi_k(x)\chi_B(x)$ in diesem Fall konkret aussieht.
Du kannst auch noch einfacher beginnen mit dem Fall $n=1$. Was ist denn $\pi_1$ im Fall $n=1$?
LG Nico\(\endgroup\)
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QuigonJin
Junior
Dabei seit: 24.11.2021
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Nun ich habs mir wie folgt überlegt.
Im Fall \(n=1\) ist doch \(\pi_1=Id\)
Für \(n=2\) betrachtet man ja ein Rechteck. Dabei bildet \(\pi_k\) denke ich jeweils auf die Koordinatenachsen ab. So habens zumindest meine Vorstellungs- und Zeichenkünste mir gezeigt.
Am meisten verwirrt mich, dass ja \(\pi_1\) und \(\pi_2\) auf andere Achsen abbilden und dann die gesamte Funktion \(\pi_k\) betrachtet wird.
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nzimme10
Senior
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
genau $\pi_1$ ist für $n=1$ einfach die Identität.
Ansonsten hast du gerade denke ich einen Denkfehler. Was meinst du mit "die ganze Funktion $\pi_k$"?
Du betrachtest nun eine Borelmenge $B\subseteq \mathbb R^n$ (die natürlich nicht unbedingt ein Quader sein muss!) und dann für ein festes $k\in \mathbb N$ mit $1\leq k \leq n$ die Projektion auf die $k$-te Koordinate $\pi_k\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$.
Auf der Menge $B$ macht $\pi_k$ nichts anderes, als jeden Punkt $x\in B$ auf seine $k$-te Koordinate abzubilden. So weit so gut. Jetzt weißt du aber auch, dass $B$ beschränkt sein muss. Was weißt du damit über $\pi_k$? Kann $\pi_k$ z.B. (betragsmäßig) beliebig groß werden?
LG Nico\(\endgroup\)
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QuigonJin
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Ich denke mal es zielt darauf ab, dass man aus Stetigkeit und Beschränktheit die Integrierbarkeit folgern kann. Die Stetigkeit würde ich wie folgt zeigen.
Für alle \(\varepsilon>0\) und \(x,y\in\mathbb{R}^n\), mit \(||x-y||_{max}<\delta:=\varepsilon\) gilt,
\(|\pi_k(x)-\pi_k(y)|=|x_k-y_k|\leq||x-y||_{max}<\varepsilon\)
Klappt das so und reicht das dann an sich schon als Begründung für die Integrierbarkeit aus?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Nein, die Stetigkeit alleine reicht nicht aus, da wir nicht unbedingt auf einer kompakten Menge sind. Die Stetigkeit ist aber nützlich, denn damit wissen wir, dass $\pi_k$ messbar ist.
Wir wissen nun aber auch, dass $B$ beschränkt ist. Folglich gibt es ein $r>0$ derart, dass $B\subseteq B_r(0)=\lbrace x\in \mathbb R^n \mid \lVert x\rVert\leq r\rbrace$ gilt.
Damit wissen wir doch auch, dass $|\pi_k(x)|\leq r$ für alle $x\in B$ gilt. Folglich gilt doch auch
\[
\begin{align*}
\int_B |\pi_k(x)| \d \lambda(x) &=\int_{\mathbb R^n} |\pi_k(x)|\cdot \chi_B(x) \d \lambda(x)\leq \int_{\mathbb R^n} r\cdot \chi_{B_r(0)}(x) \d \lambda(x).
\end{align*}
\]
Was kannst du nun über das letzte Integral sagen?
LG Nico
Generell als gut gemeinter Hinweis: Wenn du fragen musst, ob etwas als Begründung ausreicht, dann reicht es (in diesem Moment jedenfalls) nicht als Begründung aus.\(\endgroup\)
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QuigonJin
Junior
Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Nun das letzte Inegral ist auf jeden Fall kleiner unendlich und damit ist \(\pi_k\) integrierbar oder nicht?
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
nzimme10
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-29
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