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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz einer rekursiven Folge
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Universität/Hochschule Konvergenz einer rekursiven Folge
xMaxim2002
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  Themenstart: 2021-11-28

Die Frage, mit der ich mich beschäftige, ist folgende: Sei $p>0$ ein fester Parameter. Zu einem beliebigen Anfangswert $a_{0} \in \mathbb{R}$ wird durch $a_{n+1}:=a_{n}\left(2-p a_{n}\right)$ rekursiv eine Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ definiert. Untersuchen Sie, für welche Anfangswerte $a_{0}$ diese Folge konvergiert (ggf. uneigentlich), und bestimmen Sie den jeweiligen Grenzwert. Bisher habe ich diese Vermutungen: Falls die Folge konvergiert, dann ist es entweder $a=0$ oder $a = \frac{1}{p}$. Für $a_{0}<0$ und für $a_0 > \frac{2}{p}$ ist die Folge uneigentlich konvergent gegen $-\infty$. Für $a_0 \in (0, \frac{2}{p})$ kozvergiert die Folge gegen einer der Grenzwerte. Für $a_0 = 0$ und $a_0 = \frac{2}{p}$ ist es klar. Ich bin mir jetzt aber nicht so sicher, wie ich beim Beweis vorgehen soll. Einige meiner Überlegungen ist es, für $a_0 < 0$ zu zeigen, dass die Folge streng monoton fallend ist (ggf. mit Induktion). Dann kann sie prinzipiell nur uneigentlich gegen $- \infty$ konvergieren, da die einzigen, möglichen Grenzwerte $0$ und $\frac{1}{p}$ sind. Insbesondere weiß ich aber nicht, wie ich für die Fälle, bei denen es tatsächlich nicht trivial und klar ist, vorgehen soll. Ich würde mich über Tipps sehr freuen!


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Bozzo
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-29

Hallo xMaxim2002, herzlich willkommen auf dem Matheplanet! Du hast vier richtige Vermutungen aufgestellt, wobei sich die dritte allerdings noch praezisieren laesst, denn in diesem Fall konvergiert die Folge immer gegen denselben Grenzwert! Die Argumentation ueber die Monotonie (sowohl fuer an < 0 als auch fuer an > 0) ist eine gute Idee. Jedoch ist nicht jede monoton fallende Folge uneigentlich konvergent gegen -∞, sondern koennte auch gegen einen anderen Grendzwert konvergieren (z. B. bn = 1/n - 1). Vlt. kannst du ja aber noch etwas ueber die Schrittweiten an+1 - an herausfinden, das weiterhilft. Viele Gruesse Bozzo


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo xMaxim2002, deine Idee ist schon richtig: wenn die Folge mit \( a_0<0\) monoton fällt und nicht gegen \( -\infty\) divergiert, hat sie einen Grenzwert \( g<0\) (nämlich das Infimum der Folgenglieder). Das ist natürlich ein Widerspruch zu \( g\in \{0,p\}\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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xMaxim2002
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Hallo, danke erst einmal für die Antwort. Wenn ich doch beweise, dass die einzigen Grenzwerte $0$ und $\frac{1}{p}$ sind, dann muss doch eine streng monoton fallende Folge uneigentlich konvergieren für $a_0 < 0$. Ich bin mir jetzt nicht genau sicher, wie ich den Beweis weiter ausführen soll, vor allem für die anderen Fälle (für $a_0 < 0$ habe ich schon eine Idee). Vielleicht wäre eine kleine Beweisskizze für die anderen Fälle sehr hilfreich... \quoteon(2021-11-29 07:14 - Bozzo in Beitrag No. 1) Hallo xMaxim2002, herzlich willkommen auf dem Matheplanet! Du hast vier richtige Vermutungen aufgestellt, wobei sich die dritte allerdings noch praezisieren laesst, denn in diesem Fall konvergiert die Folge immer gegen denselben Grenzwert! Die Argumentation ueber die Monotonie (sowohl fuer an < 0 als auch fuer an > 0) ist eine gute Idee. Jedoch ist nicht jede monoton fallende Folge uneigentlich konvergent gegen -∞, sondern koennte auch gegen einen anderen Grendzwert konvergieren (z. B. bn = 1/n - 1). Vlt. kannst du ja aber noch etwas ueber die Schrittweiten an+1 - an herausfinden, das weiterhilft. Viele Gruesse Bozzo \quoteoff


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Bozzo
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-29

Ja, wenn bereits bewiesen ist, dass es unter 0 keinen Häufungspunkt mehr gibt, folgt das bereits aus der fallenden Monotonie unter 0.


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Wauzi
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-29

Hallo, Idee: Quadratische Ergänzung vereinfacht die Rekursion. (-p ausklammern) Ersetze dann diese etwas anders aussehende Folge durch eine naheliegende andere, so daß es noch einfacher wird. Bestimme dann für diese Folge die Bereiche, in denen sie konvergiert. Gruß Wauzi


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