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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zusammenhang zwischen Bernoulli- und Binomialverteilung
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Universität/Hochschule Zusammenhang zwischen Bernoulli- und Binomialverteilung
mathsmaths
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  Themenstart: 2022-01-17

Hallo zusammen, ich bin gerade etwas verwirrt: angenommen wir haben n viele unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen $X_1, X_2,..., X_n$, die alle Bernoulli-verteilt sind mit Parameter $p\in[0,1]$. Für jedes i $\in \{1,..,n\}$ lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bzw. Wahrscheinlichkeits-"Dichte" wenn man so will, gut als Dichte bezüglich dem Zählmaß kann man es natürlich auffassen) $p_i(x,p) = p^x (1-p)^{1-x}$. Die Frage ist nun: Zunächst lässt sich dann die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der $X_i$ schreiben als $p(x,p) = p(x_1,x_2,...,x_n)=p(X_1=x_1,...,X_n=x_n) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}$. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion entspricht ja quasi der einer binomialverteilten Zufallsvariable $Bin(n,p)$. Mich verwirrt nun: anstatt die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Vektors $X_1,..., X_n$ zu betrachten, kann ich mir doch auch die einer binomialverteilen Zufallsvariable ansehen, oder? Der Hintergrund ist zu meiner vor kurzem gestellten Frage zu optimalen Tests/Statistiken. Ich habe mich mittlerweile selbst verwirrt, ob ich mir bei der Likelihood-Quotienten Statistik überhaupt den richtigen Ausdruck angesehen habe. Ich brauche nämlich den Quotienten $\frac{p(x,p_0)}{p(x,p_1)}$ für $p_0,p_1 \in[0,1]$, die genauen Werte spielen hier für meine Frage keine Rolle. Meiner Meinung nach entspricht der Ausdruck $\frac{p(x,p_0)}{p(x,p_1)}$ aber gerade $\frac{q(z,p_0)}{q(z,p_1)}$ wobei $q$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer $Bin(n,\cdot)$ verteilten Zufallsvariable bezeichne. Ist das korrekt so? Ich habe mich wie gesagt mittlerweile selbst komplett verwirrt 😁 (Dass $\sum X_i$~$Bin(n,p)$ gilt ist mir übrigens klar, daher ja auch die Vermutung mit der binomialverteilten ZV da sich eben die Summe der $X_i$ weiter oben ergibt bei der W-Funktion vom Vektor $X=(X_1,...,X_n)$ ) Ich hoffe, meine Frage ist verständlich, Grüße


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-01-17 13:39 - mathsmaths im Themenstart) Meiner Meinung nach entspricht der Ausdruck $\frac{p(x,p_0)}{p(x,p_1)}$ aber gerade $\frac{q(z,p_0)}{q(z,p_1)}$ wobei $q$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer $Bin(n,\cdot)$ verteilten Zufallsvariable bezeichne. Ist das korrekt so? I \quoteoff Ja, denn \[\frac{p(x,p_0)}{p(x,p_1)}=\frac{p_0^{\sum x_i} (1-p_0)^{n-\sum x_i}}{p_1^{\sum x_i} (1-p_1)^{n-\sum x_i}}= \frac{\binom{n}{\sum x_i}\cdot p_0^{\sum x_i} (1-p_0)^{n-\sum x_i}}{\binom{n}{\sum x_i}\cdot p_1^{\sum x_i} (1-p_1)^{n-\sum x_i}}=\frac{q(x,p_0)}{q(x,p_1)}\,.\] vg Luis \(\endgroup\)


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mathsmaths
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Hi Luis, Ah danke - das macht natürlich Sinn! 🙄 Du bist wie immer der Retter bei Statistik-Fragen! 😁 Danke und Gruß Edit: ok damit kann ich ja anstatt des vektors $x=(x_1,..,x_n)$ der hier auf beiden Seiten steht genau so das ganze aufs eindimensionale zurückführen und daher für $z=\sum x_i$ einfach $p(x) = p(z)$ betrachten, also hab wirklich eine eindimensionale, binomialverteilte Zufallsvariable in Zähler und Nenner beim Likelihood-Quotienten, verstehe ich das richtig? :-) Hm andererseits macht der Ausdruck $p(x)=p(z)$ ja keinen Sinn, da links ein Vektor und rechts ein Skalar steht...


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luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-17

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2022-01-17 17:42 - mathsmaths in Beitrag No. 2) Hi Luis, Ah danke - das macht natürlich Sinn! 🙄 Du bist wie immer der Retter bei Statistik-Fragen! 😁 Danke und Gruß Edit: ok damit kann ich ja anstatt des vektors $x=(x_1,..,x_n)$ der hier auf beiden Seiten steht genau so das ganze aufs eindimensionale zurückführen und daher für $z=\sum x_i$ einfach $p(x) = p(z)$ betrachten, also hab wirklich eine eindimensionale, binomialverteilte Zufallsvariable in Zähler und Nenner beim Likelihood-Quotienten, verstehe ich das richtig? :-) Hm andererseits macht der Ausdruck $p(x)=p(z)$ ja keinen Sinn, da links ein Vektor und rechts ein Skalar steht... \quoteoff In der Tat, du verhedderst dich anscheinend in deiner eigenen Notation. Ich versuche mal, das Knaeuel zu entwirren: Betrachte $P_1:\{0,1\}^n\times[0,1]\to\IR$ mit $P_1(x_1,\dots,x_n,p)=p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}$ (deine Notation $p(x,p)$ ist schraeg) und $P_2:\{0,1,2,\dots,n\}\times[0,1]\to\IR$ mit $P_2(s,p)=\binom{n}{s}p^{s} (1-p)^{s}$ (dein altes $q$). Dann ist der Quotient aus Beitrag #1: \[\frac{P_1(x_1,\dots,x_n,p_0)}{P_1(x_1,\dots,x_n,p_1)}= \frac{P_2(\sum x_i,p_0)}{P_2(\sum x_i,p_1)}\,.\] vg Luis P.S. Danke fuer die Blumen. 😉 \(\endgroup\)


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mathsmaths
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17

Hi Luis, Danke dir nochmals! Ja so macht es Sinn...den rechten Ausdruck bei dir werde ich dann eben noch verkürzt mit $\sum x_i = s$ (deine Notation) noch umschreiben zu $\frac{P_2(s,p_0)}{P_2(s,p_1)}$, also zu einem Likelihood-Quotienten einer Binomialverteilung. Da du mir schon hier behilflich warst - weißt du zufällig, ob meine Interpretation von "optimaler Statistik" wie im Beitrag "Optimaler Test und optimale Statistik bei der Bernoulli-Verteilung" (leider weiß ich nicht, wie ich hier andere Beiträge verlinke, sonst würde ich das jetzt tun) korrekt ist? Meine Begründungen dafür, dass es sich um keine optimale Statistik handelt, habe ich dort niedergeschrieben - bin aber unsicher... . Damit wäre ich dann fertig mit der Aufgabe. Grüße und schönen Abend


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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-17

\quoteon(2022-01-17 20:57 - mathsmaths in Beitrag No. 4) Da du mir schon hier behilflich warst - weißt du zufällig, ob meine Interpretation von "optimaler Statistik" wie im Beitrag "Optimaler Test und optimale Statistik bei der Bernoulli-Verteilung" ... korrekt ist? \quoteoff Puh, dazu habe ich keine Lust, sorry. Ein bisschen Googlen mit neyman pearson lemma bernoulli liefert vieles, z.B. hier, Example 3. vg Luis


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mathsmaths
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-18

Hi Luis, ich danke dir. Ich glaube der Fehler, den ich bei solchen Suchen mache, ist auf Deutsch zu suchen. Werde dann wohl ab jetzt auch mehr auf Englisch Nachschlagen! Gruß


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
luis52
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-18

\quoteon(2022-01-18 08:38 - mathsmaths in Beitrag No. 6) Hi Luis, ich danke dir. Ich glaube der Fehler, den ich bei solchen Suchen mache, ist auf Deutsch zu suchen. Werde dann wohl ab jetzt auch mehr auf Englisch Nachschlagen! Gruß \quoteoff Ja, das ist unbedingt ratsam. Am besten mit dem Zusatz: "filetype:pdf". vg Luis


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