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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers
mappingmoe
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.09.2020
Mitteilungen: 37
  Themenstart: 2022-01-18

Hey Leute, ich versuche zu beweisen, dass der Zerfällungskörper eines \(f\) über \(K\) bis auf Isomorphie eindeutig bestimmbar ist, allerdings komme ich aktuell nicht weiter und habe das Gefühl, dass ich mich da auf etwas nicht Zielführendes versteife. Zunächst mal zu meiner Idee: Ich will zeige, dass es für einen Körper \(K\), \(f\in K[X]\) mit jeweils zwei Zerfällungskörpern \(Z_1,Z_2\) ein Isomorphismus \(\phi:Z_1\rightarrow Z_2\) gibt, mit \(\phi(k)=k \forall k \in K\). Des Weiteren soll ich zeigen, dass für \(a\in Z_1\) mit \(f(a)=0\) auch \(f(\phi(a))=0\). Zunächst wollte ich mit einfachen Körpererweiterungen \(Z_1=K(a),\, Z_2=K(b)\) beginnen, also so dass \(\exists a\in M,\, M/K,\, \exists b\in N,\, N/K,\, f(a)=f(b)=0\). Meine Überlegung war dann, eine Beziehung zwischen \(Z_1\,\text{und } Z_2\) herzustellen, indem ich mit bekannten Isomorphie-Relationen zu \(K[X]\) arbeite. Dafür habe ich versucht, den Einsetzungshomomorphismus \(\epsilon_a : K[X]\rightarrow K[a]=K(a)\) zu verwenden, da mit dem Homomorphiesatz für diesen zusätzlich gilt, dass \(\epsilon_a:K[X]/(m_a)\rightarrow K(a)=Z_1\) ein Isomorphismus ist. Anschließend habe ich probiert, mir eine Projektionsabbildung zu definieren: \[\pi_a:K[X]/(m_a)\rightarrow K[X];\,\pi_a:g\mapsto\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text{sonst} \\ g, & g\in K[X]\end{array}\right.\] Meine Idee war nun, eine Verknüpfung von den Einsetzungen und der Projektion zu definieren: \[K\subset K(a) \xrightarrow{\epsilon_a^{-1}}K[X]/(f)\xrightarrow{\pi_a} K[X] \xrightarrow{\epsilon_b}K(b),\; \phi=\epsilon_b\circ\pi_a\circ\epsilon_a^{-1}\] Analog könnte man dann die Umkehrabbildung \(\phi^{-1}=\epsilon_a\circ\pi_b\circ\epsilon_b^{-1}\) definieren. Das ganze ist aber natürlich jetzt sehr künstlich konstruiert und speziell bei der Forderung \(f(\phi(a))=0\) sehe ich noch nicht, dass das ganze hier klappen sollte. Im Buch von Bosch habe ich einen Beweis für eine Satz gefunden, der diese Eindeutigkeit hier als Korollar hat, dabei wird allerdings nur benutzt \(f=\Pi (X-\sigma(a_i))=\Pi (X-b_i),\, {a_1,...,a_n}\in M, {b_1,...,b_n}\in N\) und daraus soll anscheinend folgen, dass \(\sigma:M\rightarrow N\) bijektiv abbildet, da sehe ich aber noch nicht ganz, wieso das bijektiv ist. Ich hoffe meine Ideen sind noch halbwegs verständlich :D ich wäre dankbar für jede Verbesserung und jeden Tipp! Vielen Dank an jeden der bis hierhin gelesen hat! Beste Grüße, Moe


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