| Autor |
  Reihe sin(nx)/n |
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th57
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 63
 |  Themenstart: 2022-01-22
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Hi,
Ich würde gern wissen wie ich die Grenzfunktion von
\[\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n}\text{ bzw. } \sum_{n= 1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n} \]
berechnen kann auf \((0,2\pi)\).
Also nach googeln habe ich zumindest mal rausgefunden, das der Grenzwert des Sinus Teils wohl \(\frac{\pi-x}{2}\) ist (als Fourierreihe).
Wie komme ich da drauf ohne diesen vorab zu kennen?
Eine Idee, die ich hatte, ist, da \(\sin(nx)/n\) ja gleichmäßig konvergent ist, darf ich also z.B. Reihe und Integration vertauschen. Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen.
LG
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2375
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-22
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Huhu th57,
der Standardweg nutzt die Eulerformel und macht einen Umweg ins Komplexe. Kennst du dich also mit komplexer Analysis aus?
Gruß,
Küstenkind
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th57
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22
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Ja ein bisschen, meine Idee war es zu benutzen \(\sin(nx) = \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\) und dann über die Partialsummen und die geometrische Reihe zu gehen. Da bekomme ich (ich lasse Zwischenschritte weg, da Du ja anscheinend weißt wies geht):
\[S_N = \sum_{n=1}^N\sin(nx)/n = \frac{1}{2i}( \sum_1^N\frac{e^{ix^n}}{n} -\sum_1^N\frac{e^{-ix^n}}{n})\]
Die geometrische Summe kann ich hier ja aber nicht anwenden, da mich das 1/n stört. Bin ich auf dem falschen Weg?
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-22
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Huhu th57,
nein - du nutzt die Eulerformel und ersetzt \(\sin(nx)\) durch \(\exp(inx)\) und betrachtest dann den Imaginärteil. Das ist ein Standardtrick bei solchen Fragen. Siehe z. B. dort:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=251070&start=0#p1826876
Gruß,
Küstenkind
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo th57,
du kannst die Reihe ableiten - dann ist das \( n\) weg.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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th57
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Dabei seit: 14.12.2020
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22
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Wenn ich das mal mit euren Tipps probiere, dann komm ich auf:
\[\begin{multline*}
S_N' = \sum_1^{N-1}\sin(nx) = \Im(\sum_1^{N-1}\exp(ix)^n) = \Im(\sum_0^{N-1}\exp(ix)^n -1) = \Im(\frac{1-\exp(iNx)}{1-\exp(ix)}) \\
= \Im(\frac{(1-\exp(iNx))(1-\exp(-ix))}{(1-\exp(ix)(1-\exp(-ix))}) = \frac{1}{2}\frac{-\sin x- \sin Nx+ \sin ((N-1)x)}{1-\cos(x)}
\end{multline*}\]
Wie mach ich weiter?
Kann ich jetzt sagen \(\underset{N\to\infty}{\lim}S_N' = -0.5\frac{\sin x}{1-\cos x} \)?
Das sieht mir noch nicht nach dem aus, was ich haben will.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9475
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-01-22
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Ähem... wie war noch mal die Ableitung des Sinus?
Viele Grüße
Wally
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th57
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-22
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Ach klar Danke, jetzt hab ich's auch schaffen dürfen :)
Noch ein schönes Wochenende Euch.
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