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 Restklassenring |
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juergenX
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 |  Themenstart: 2022-01-27
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Die Elemente von $Z[x]/(x2+1)$
sind mindestens die Polynome oder expressions oder was immer
$\displaystyle
1,
i,
-i,
-1,
x,
-x,
x^2,
-x^2,
1-x^2,
x^2-1$
$\displaystyle x^2$ ist ja auch -1.
$\displaystyle -x^2$ ist ja auch +1.
Das sind nur 8 echt verschiedene, es nuessten aber ja wieviel sein?
Ausserdem sind das ja "Terme" keine Polynome..
Da $\displaystyle (x2+1)$ irreduzibel ist muesste $\displaystyle Z[x]/(x2+1)$ also die Restklassen nach $\displaystyle (x2+1)$ einen Koerper $\displaystyle K$ bilden.
etwa Einen Galoiskoerper der Art:
$\displaystyle K= GF_n(m)$ ? Ist das richtig? was ist n,m?
Und was ist mit $\displaystyle x+i,x^2+1$ etc? die muessen ja auch in $\displaystyle K$ sein wg der additionsabgeschlossenheit.
Mir ist u.a. nicht klar wie das $\displaystyle i$ da rein passt..
$\displaystyle f(x)=(x2+1)$ hat ja als Nullstellen $\displaystyle \pm i$
und $\displaystyle f(x)=(x2+1)$ ist minpol von $\displaystyle i$.
Kann jemand bitte alle Bsiselemente von $Z[x]/(x2+1)$ hinschreiben?
Danke
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-27
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\quoteon(2022-01-27 00:33 - juergenX im Themenstart)
Die Elemente von $Z[x]/(x2+1)$
sind mindestens die Polynome oder expressions oder was immer
$\displaystyle
1,
i,
-i,
-1,
x,
-x,
x^2,
-x^2,
1-x^2,
x^2-1$
$\displaystyle x^2$ ist ja auch -1.
$\displaystyle -x^2$ ist ja auch +1.
Das sind nur 8 echt verschiedene, es nuessten aber ja wieviel sein?
Ausserdem sind das ja "Terme" keine Polynome..
Da $\displaystyle (x2+1)$ irreduzibel ist muesste $\displaystyle Z[x]/(x2+1)$ also die Restklassen nach $\displaystyle (x2+1)$ einen Koerper $\displaystyle K$ bilden.
etwa Einen Galoiskoerper der Art:
$\displaystyle K= GF_n(m)$ ? Ist das richtig? was ist n,m?
Und was ist mit $\displaystyle x+i,x^2+1$ etc? die muessen ja auch in $\displaystyle K$ sein wg der additionsabgeschlossenheit.
Mir ist u.a. nicht klar wie das $\displaystyle i$ da rein passt..
$\displaystyle f(x)=(x2+1)$ hat ja als Nullstellen $\displaystyle \pm i$
und $\displaystyle f(x)=(x2+1)$ ist minpol von $\displaystyle i$.
Kann jemand bitte alle Bsiselemente von $Z[x]/(x2+1)$ hinschreiben?
Danke
\quoteoff
Könntest du dein Anliegen wohl noch einmal halbwegs verständlich und möglichst tippfehlerfrei formulieren? Mir wird ganz schummrig 😡
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juergenX
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27
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Was genau ist das Bild von $\sigma (Z[x])$ in die restklassen nach dem Primideal $(x^2+1)$? Woraus besteht dies Bild?
$z[x]/(x^2+1)$ ist nach dem Homomorphiesatz isomorph dem Bild von $Z[x]$ unter $\sigma$, was alls Polynome aus $Z[x]$ auf die reste nach $x^2+1$ abbildet. (kanonischer Epimorphismus?).Wie genau sieht das Bild von $\sigma$ aus?
es muesste ja ein Koerper sein oder.
Ist i in $Im(f)$?
Ist i+1 in $Im(f)$?
Ist x+i in $Im(f)$?
Oder spielt $i$ keine Rolle?
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DavidM
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-27
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Hallo Jürgen,
das Bild von dem kanonischen Homomorphismus $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ ist nicht nur isomorph zu $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ sondern sogar gleich diesem Ring. Dafür braucht man auch nicht den Homomorphiesatz, sondern das ergibt sich gerade aus der Definition vom Restklassenring und dem kanonischen Homomorphismus.
Das Bild, also der Ring $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ besteht aus allen Restklassen $f+(x^2+1)$ mit $f \in \mathbb{Z}[x]$. Jetzt kann man sich überlegen, dass es in jeder solchen Restklasse genau ein Polynom vom Grad $0$ oder $1$ gibt, also entsprechen die Elemente von diesem Restklassenring genau den Polynomen vom Grad hächstens $1$.
Mit komplexen Zahlen hat das zunächst einmal nichts zu tun. Aber: Man kann den Homomorphismus $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{C}, f \mapsto f(i)$ betrachten. Der Kern davon besteht aus allen Polynomen in $\mathbb{Z}[x]$, von denen $i$ eine Nullstelle ist, also ist der Kern genau das Ideal $(x^2+1)$. Das Bild von diesem Homomorphismus ist gerade der Ring der gaußschen Zahlen, also $\mathbb{Z}[i]=\{ a+bi | a,b \in \mathbb{Z} \}$. Damit zeigt der Homomorphiesatz (hier brauchen wir ihn wirklich), dass es einen kanonischen Isomorphismus $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1) \to \mathbb{Z}[i]$ gibt. Ich habe ja oben geschrieben, dass es in jeder Restklasse genau ein Polynom vom Grad höchstens $1$ gibt. Damit können wir diesen Isomomrphismus besonders einfach hinschreiben: Die Restklasse von $a+bx$ wird abgebildet auf $a+bi$.
Das heißt also: $i$ und $i+1$ liegen nicht in $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$, aber in einem Ring, der dazu isomorph ist. $x+i$ hat mit diesem Ring gar nichts zu tun, weil wir hier nur Polynome mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}$ betrachten. Außerdem ist $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ kein Körper - $(x^2+1)$ ist in $\mathbb{Z}[x]$ zwar ein Primideal, aber kein maximales Ideal.
Gruß,
David
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juergenX
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-29
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\quoteon(2022-01-27 17:38 - DavidM in Beitrag No. 3)
Hallo Jürgen,
das Bild von dem kanonischen Homomorphismus $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ ist nicht nur isomorph zu $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ sondern sogar gleich diesem Ring. Dafür braucht man auch nicht den Homomorphiesatz, sondern das ergibt sich gerade aus der Definition vom Restklassenring und dem kanonischen Homomorphismus.
\quoteoff
Heisst es nicht bei Gleicheit sogar $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1) \cong IM(f)$ ist ein Automorphismus?
\quoteon
Das Bild, also der Ring $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ besteht aus allen Restklassen $f+(x^2+1)$ mit $f \in \mathbb{Z}[x]$. Jetzt kann man sich überlegen, dass es in jeder solchen Restklasse genau ein Polynom vom Grad $0$ oder $1$ gibt, also entsprechen die Elemente von diesem Restklassenring genau den Polynomen vom Grad hächstens $1$.
\quoteoff
Ist $\displaystyle f_1 = x^2$ also nicht in dem Restklassnring? Oder ist es dasselbe wie $\displaystyle f(x) = -1$?
Sind also die 3 konstanten Polynome
$\displaystyle f(x) = 0 $ und/oder
$\displaystyle f(x) = 1$
und/oder
$\displaystyle f(x) = - 1$
in unserem Restklassenring?
Also 3 Polynome des Grades 0!
$\displaystyle f(x) = x$
$\displaystyle f(x) = x+1$
$\displaystyle f(x) = x-1$
Also 3 Polynome des Grades 1?
Was ist mit $\displaystyle f(x) = 2x-1$? Kann das nicht auch als Rest einer Polynomdivision $\displaystyle f(x)/(x^2+1)$ auftreten?
Wir haben denk ich alle echten Restklassen $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ :
$\displaystyle f(x) = 0,1,-1,x,x-1,x+1$.
Stimmt das so?
Diese 6 elemente sind wie man leicht sieht ein Ring mit 0 und 1.
Alle Polynome höheren Grades als 1 lassen sich modulo $\displaystyle x^2+1$ reduzieren. z.B. $\displaystyle x^3/x^2+1 = x-1$ Rest x+1.
Ist es auch ein Körper?
Ich versuche en einem Beispiel elementar zu checken:
Es gibt Inverse zu 1: $\displaystyle 1/(x^2+1) = (x^2+2)/(x^2+1) =1$ Rest 1.
1 ist das Einselement des Restklassenringes.
Inverse zu $\displaystyle x+1: x^2+1/(x+1) = x$ Rest 1-x.
gibt es nicht.
Du sagtest, der dividend muss ein Maximalideal sein, damit $\displaystyle \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ ein Körper ist. Das ist x^2+1 nicht, weil $\displaystyle x^3+x$ ein größeres Ideal ist.
Also kann ich das checken auf Körpereigenschafte auch gleich lassen?
Das andere bez. $i$ lass ich erst mal stehen ich brauch eine Vorstellung dieses Ringes $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$.
\quoteon
Gruß,
David
\quoteoff
Vielen Dank bis hierher😃 es geht mir an sich um die Elemente und allgemein das elementare Rechnen in Restklassenringen.
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DavidM
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-29
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\quoteon(2022-01-29 13:48 - juergenX in Beitrag No. 4)
\quoteon(2022-01-27 17:38 - DavidM in Beitrag No. 3)
Hallo Jürgen,
das Bild von dem kanonischen Homomorphismus $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ ist nicht nur isomorph zu $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ sondern sogar gleich diesem Ring. Dafür braucht man auch nicht den Homomorphiesatz, sondern das ergibt sich gerade aus der Definition vom Restklassenring und dem kanonischen Homomorphismus.
\quoteoff
Heisst es nicht bei Gleicheit sogar $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1) \cong IM(f)$ ist ein Automorphismus?
\quoteoff
Ja, das ist ein Automorphismus. Genau genommen ist es die Identität auf dem Ring und das ist immer ein Automorphismus.
\quoteon
\quoteon
Das Bild, also der Ring $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ besteht aus allen Restklassen $f+(x^2+1)$ mit $f \in \mathbb{Z}[x]$. Jetzt kann man sich überlegen, dass es in jeder solchen Restklasse genau ein Polynom vom Grad $0$ oder $1$ gibt, also entsprechen die Elemente von diesem Restklassenring genau den Polynomen vom Grad hächstens $1$.
\quoteoff
Ist $\displaystyle f_1 = x^2$ also nicht in dem Restklassnring? Oder ist es dasselbe wie $\displaystyle f(x) = -1$?
\quoteoff
Um hier Verwirrungen zu vermeiden, nimmt man am besten eine Notation, die Restklassen klar von ihren Vertretern unterscheidet. Ich schreibe hier ab jetzt $\overline{f}$ für die Restklasse von $f$ (es gibt auch andere übliche Notationen dafür).
Dann ist $\overline{x^2}=\overline{-1}$, diese beiden Restklassen stimmen also überein. Die Restklasse liegt also in $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$, die Polynome selbst liegen aber natürlich nicht in dem Restklassenring.
\quoteon
Sind also die 3 konstanten Polynome
$\displaystyle f(x) = 0 $ und/oder
$\displaystyle f(x) = 1$
und/oder
$\displaystyle f(x) = - 1$
in unserem Restklassenring?
Also 3 Polynome des Grades 0!
\quoteoff
Es gibt für jedes konstante Polynom eine Restklasse und die sind auch alle unterschiedlich, es gibt also unendlich viele verschiedene Restklassen von Polynomen vom Grad $0$ in $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$, nicht nur drei.
\quoteon
$\displaystyle f(x) = x$
$\displaystyle f(x) = x+1$
$\displaystyle f(x) = x-1$
Also 3 Polynome des Grades 1?
Was ist mit $\displaystyle f(x) = 2x-1$? Kann das nicht auch als Rest einer Polynomdivision $\displaystyle f(x)/(x^2+1)$ auftreten?
\quoteoff
Auch hier gilt, es gibt zu jedem Polynom vom Grad $1$ eine Restklasse, also wieder unendlich viele.
\quoteon
Wir haben denk ich alle echten Restklassen $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ :
$\displaystyle f(x) = 0,1,-1,x,x-1,x+1$.
Stimmt das so?
Diese 6 elemente sind wie man leicht sieht ein Ring mit 0 und 1.
\quoteoff
Nein, die 6 Elemente bilden so keinen Ring, zumindest fällt mir keine sinnvolle Möglichkeit ein, darauf eine Addition und Multiplikation zu definieren - was ist $1+1$, was ist $(-1) \cdot x$,...?
\quoteon
Es gibt Inverse zu 1: $\displaystyle 1/(x^2+1) = (x^2+2)/(x^2+1) =1$ Rest 1.
1 ist das Einselement des Restklassenringes.
Inverse zu $\displaystyle x+1: x^2+1/(x+1) = x$ Rest 1-x.
gibt es nicht.
\quoteoff
Ich bin mir nicht ganz sicher, was du hier genau rechnest, die Ergebnisse sind jedenfalls richtig: $1$, oder genauer die Restklasse $\overline{1}$ ist das neutrale Element für die Multiplikation und $\overline{x+1}$ hat kein Inverses bezüglich der Multiplikation.
\quoteon
Du sagtest, der dividend muss ein Maximalideal sein, damit $\displaystyle \mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ ein Körper ist. Das ist x^2+1 nicht, weil $\displaystyle x^3+x$ ein größeres Ideal ist.
Also kann ich das checken auf Körpereigenschafte auch gleich lassen?
\quoteoff
Wenn es die nur darum geht, ob das ein Körper ist oder nicht, genügt es zu wissen, dass das kein maximales Ideal ist. Fürs Verständnis kann es aber sicher helfen, das mal explizit nachzurechnen. Deine Begründung, dass $(x^2+1)$ nicht maximal ist, ist falsch: Es ist nicht $(x^2+1) \subseteq (x^3+x)$ - dafür müsste ja $x^2+1$ ein Vielfaches von $x^3+x$ sein und das ist nicht der Fall. Tatsächlich gibt es kein Hauptideal in $\mathbb{Z}[x]$, das echt größer ist als $(x^2+1)$. Aber zum Beispiel ist $(x^2+1) \subsetneq (x^2+1,2)$.
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juergenX
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-30
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\quoteon
Es ist nicht (x2+1)⊆(x3+x) - dafür müsste ja x2+1 ein Vielfaches von x3+x sein und das ist nicht der Fall. Tatsächlich gibt es kein Hauptideal in Z[x], das echt größer ist als (x2+1). Aber zum Beispiel ist (x2+1)⊊(x2+1,2).
\quoteoff
ja logisch..🙂
Mit den overlined usdrücken sind Representanten der restklassen gemeint?
Nur kurze Nachfrage: gibte es überhaupt ein Maximales (haupt)-ideal $\mathcal (I) \in Z[x]$? Wie sähe das aus?
Wir können doch zu allen $\mathcal (I)$ ein kleineres finden $\mathcal(J) \subset \mathcal(I)$, egal ob $\mathcal (I)$ Primideal ist. Dann gibt es für es für alle $\mathcal (I)$ kleinere Ideale
$...(12) \subset(6) \subset (3)$ (sog.Halbordnung)
z.B. $x*\mathcal (I) \subset \mathcal(I)$.
Ist unser $\mathcal x^2+1$ kein primideal oder doch?
Ist unser $\mathcal x^2+1$ ein maximales ideal oder nicht ?
Ich weiss eben nicht genau wie man die beiden letzteren Sätze entscheidet.
Dann koennten wir nie einen Koerper durch $Z[x]/\mathcal(I)$ bilden, wenn $\mathcal(I)$ nicht maximal waere. Ist es das oder nicht?
Du sagtest nein.
Welches Hauptideal waere größer ohne Adjunktion von 2 oder so?
$Z[x]$ ist keine PID.
(Nebenbei:
Kann man sinnvoll so was wie $Z[x]/(x2+1,2)$ bilden? wie saehe das aus?)
aus wiki
Der Polynomring $\displaystyle \mathbb {Z}[X]$ über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von 2 und X erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann.
2 Fragen:
Ist unser $\mathcal x^2+1$ ein maximales Hauptideal oder nicht?
Du sagtest nein, deswegen $Z[x]/(x^2+1)$ kein Koerper.
Und auch kein Ring? Es ist doch $\overline {x+1} \cdot \overline {x-1} = \overline {x^2-1} = \overline {-2}$. Aber $\overline {-2}$ ist nicht zulässig.
Es gibt groessere z.B. durch adjunktion von 2 aber ohne diesen Zusatz nicht.
Wenn nicht, dann nenne doch bitte ein größeres maximales hauptIdeal $\mathcal(J) \in Z[x]$ als $\mathcal x^2+1$, das ein echte Obermengen von $\mathcal x^2+1$ ist.
Ich komme zugegeben mit den begriffen kleiner Grösser maximal prim ideal durcheinander.
Ich erinnere auch einen Post vor Jahren, in den ich Inverse in Restklassenkörpern von Polynomen berechnete aber finde das mal wieder unter Ehemaliges_Mitglied..!? 🙄
Zusammenfassend Für den Satz $Z[x]\mathcal(I)$ ist genau dann ein Koerper, wenn $\mathcal(I)$ maximal ist, brauch ich ein Beispiel.
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DavidM
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-30
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\quoteon(2022-01-30 18:37 - juergenX in Beitrag No. 6)
\quoteon
Es ist nicht (x2+1)⊆(x3+x) - dafür müsste ja x2+1 ein Vielfaches von x3+x sein und das ist nicht der Fall. Tatsächlich gibt es kein Hauptideal in Z[x], das echt größer ist als (x2+1). Aber zum Beispiel ist (x2+1)⊊(x2+1,2).
\quoteoff
ja logisch..🙂
Mit den overlined usdrücken sind Representanten der restklassen gemeint?
\quoteoff
$\overline{f}$ ist die Restklasse, von der $f$ ein Repreäsentant ist.
\quoteon
Nur kurze Nachfrage: gibte es überhaupt ein Maximales (haupt)-ideal $\mathcal (I) \in Z[x]$? Wie sähe das aus?
\quoteoff
Maximale Ideale gibt es in dem Ring (die gibt es in jedem Ring), maximale Hauptideale gibt es nicht. Ein Beispiel für ein maximales Ideal hier wäre $(x,2)$, also das Ideal, das von $x$ und $2$ erzeugt wird.
\quoteon
Wir können doch zu allen $\mathcal (I)$ ein kleineres finden $\mathcal(J) \subset \mathcal(I)$, egal ob $\mathcal (I)$ Primideal ist. Dann gibt es für es für alle $\mathcal (I)$ kleinere Ideale
$...(12) \subset(6) \subset (3)$ (sog.Halbordnung)
z.B. $x*\mathcal (I) \subset \mathcal(I)$.
\quoteoff
Ein kleineres Ideal kann man zu jedem Ideal (außer $(0)$) finden, klar. Aber wir suchen ja ein größeres.
\quoteon
Ist unser $\mathcal x^2+1$ kein primideal oder doch?
Ist unser $\mathcal x^2+1$ ein maximales ideal oder nicht ?
Ich weiss eben nicht genau wie man die beiden letzteren Sätze entscheidet.
\quoteoff
Primideal ist es, maximales Ideal ist es nicht. Eine Möglichkeit, das zu sehen, ist sich den Restklassenring $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ anzuschauen und zu sehen, dass der isomorph ist zu $\mathbb{Z}[i]$, also ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Es geht aber natürlich auch direkter: $x^2+1$ ist irreduzibel, also ist das davon erzeugte Ideal ein Primideal. Und um zu zeigen, dass es nicht maximal ist, muss man nur ein größeres Ideal finden, zum Beispiel $(x^2+1)$.
\quoteon
Dann koennten wir nie einen Koerper durch $Z[x]/\mathcal(I)$ bilden, wenn $\mathcal(I)$ nicht maximal waere. Ist es das oder nicht?
Du sagtest nein.
Welches Hauptideal waere größer ohne Adjunktion von 2 oder so?
\quoteoff
Ein Hauptideal, was größer ist als $(x^2+1)$ gibt es nicht, wohl aber ein größeres Ideal, das kein Hauptideal ist.
\quoteon
$Z[x]$ ist keine PID.
(Nebenbei:
Kann man sinnvoll so was wie $Z[x]/(x2+1,2)$ bilden? wie saehe das aus?)
\quoteoff
Klar, man kann zu jedem Ideal einen Restklassenring bilden. Um zu finden, kann man hier zum Beispiel erst den Restklassenring modulo $(2)$ bilden, das ist hier bis auf Isomorphie $\mathbb{F}_2[x]$ und dann davon den Restklassenring modulo $(x^2+1)$. Bis auf Isomorphie ist das hier der Körper mit vier Elementen.
\quoteon
2 Fragen:
Ist unser $\mathcal x^2+1$ ein maximales Hauptideal oder nicht?
Du sagtest nein, deswegen $Z[x]/(x^2+1)$ kein Koerper.
Und auch kein Ring? Es ist doch $\overline {x+1} \cdot \overline {x-1} = \overline {x^2-1} = \overline {-2}$. Aber $\overline {-2}$ ist nicht zulässig.
Es gibt groessere z.B. durch adjunktion von 2 aber ohne diesen Zusatz nicht.
\quoteoff
Doch klar, ein Ring ist das schon, wieso sollte $\overline{-2}$ nicht zulässig sein? Ich habe in meinem letzten Beitrag schon geschrieben, dass es unter anderem zu jedem konstanten Polynom eine Restklasse in $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ gibt. Den Rest habe ich weiter oben schon beantwortet.
\quoteon
Wenn nicht, dann nenne doch bitte ein größeres maximales hauptIdeal $\mathcal(J) \in Z[x]$ als $\mathcal x^2+1$, das ein echte Obermengen von $\mathcal x^2+1$ ist.
\quoteoff
Wie gesagt, ein größeres Hauptideal gibt es nicht, aber ein größeres Ideal schon.
\quoteon
Zusammenfassend Für den Satz $Z[x]\mathcal(I)$ ist genau dann ein Koerper, wenn $\mathcal(I)$ maximal ist, brauch ich ein Beispiel.
\quoteoff
Nimm das Ideal $I=(x,2)$. Dann ist $\mathbb{Z}[x]/(2) \cong \mathbb{F}_2[x]$ und damit $\mathbb{Z}[x]/(x,2) \cong \mathbb{F}_2[x]/(x) \cong \mathbb{F}_2$.
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juergenX
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03
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Ich bedanke mich ganz doll für die Infos und dein Bemühen!
ich bin dabei nochmal alles zu lesen bis zum Endphenomen Klarheit :)
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juergenX
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-02-03
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you wrote
\quoteon
$x2+1$ ist irreduzibel, also ist das davon erzeugte Ideal ein Primideal. Und um zu zeigen, dass es nicht maximal ist, muss man nur ein größeres Ideal finden, zum Beispiel (x2+1).
\quoteoff
Da ist wohl ein Tippfehler?
Soll das x2+1 heissen?
Also mit overline ist eine unendliche Menge eben eine Restklasse gemeint.
Ohne overline ist ein Representant gemeint.
Das war die Vereinbarung.
$ (x^2+1) = \mathcal(I)$.
$\mathcal{x2+1}= \mathcal(J)$.
ist $\mathcal(J)$ wirklich größer als $\displaystyle\mathcal{I}$?
Das Ideal $\displaystyle \mathcal(x2+1)$ besteht doch aus $\displaystyle f(x)=-1,1,3,5,\dots$ also alle ungeraden konstanten Polymomen.
Representant ist $\displaystyle g(x)= -1$?
Das Ideal $\displaystyle \mathcal(x^2+1)$ besteht aus $\displaystyle (1,5,10,17,\dots)$, keine negativen elemente.
Ist vleicht nicht so wichtig, aber $\displaystyle \mathcal(x2+1)$ und $\displaystyle \mathcal(x^2+1)$ überschneiden sich, keine ist $\displaystyle \gt \lor \lt$ als das andere.
Es gibt sicher "mehr" ungerade als $\displaystyle x^2+1$. aber die Mächtigkeit der Klassen ist gleich.
Sie lassen sich aber gar nicht vergleichen. oder? Was sind die Representanten der Restklassen $\displaystyle (x^2+1)$? offenbar $0$.
Die möglichen auftreteden Reste nach $\displaystyle\mathcal(x^2+1)$? sind wie ich meine (*) $\displaystyle f_r(x)= \{0,1,-1,x,-x,x+1,x-1\}$. Andere Reste können nicht auftreten.
Alle anderen lassen sich modulo $\displaystyle (x^2+1)$ reduzieren. deswegen restklassen
Die Ideale sind Kerne der Abbildungen in die Restklassen.
Und dies bilden einen Ring, dem widersprachst du.
\quoteon
Maximale Ideale gibt es in dem Ring (die gibt es in jedem Ring), maximale Hauptideale gibt es nicht. Ein Beispiel für ein maximales Ideal hier wäre (x,2), also das Ideal, das von x und 2 erzeugt wird.
\quoteoff
Grösssere als (x,2) gibt es nicht. Aber (x,3) ist ein anderes maximales Ideal in Z[x].
\quoteon
Nein, die 6 Elemente bilden so keinen Ring, zumindest fällt mir keine sinnvolle Möglichkeit ein, darauf eine Addition und Multiplikation zu definieren - was ist 1+1, was ist (−1)⋅x,...?
\quoteoff
Als Represntant der beiden Restklasse genommen kann man 1+1 üder x+1 nicht berechnen.sagtest du. Aber z.b.:
$\displaystyle \overline {x^2+2}*\overline {x^2+2} =\overline (x^4+4x^2+4) \mod x^2+1 =\overline (1)$. Das ist logisch, da $\displaystyle {x^2+2} \cong x^2+1+1 =1$
In #5 schriebst du oder ich auch:
$\displaystyle Z[x]/(x^2+1)$ besteht aus
\quoteon
$\displaystyle f(x)=0,1,−1,x,x−1,x+1$. Stimmt das so?
Diese 6 Elemente sind wie man leicht sieht ein Ring mit 0 und 1.
was du bestrittest.
\quoteoff
Du:
\quoteon
Nein, die 6 Elemente wie unter (*) bilden so KEINEN Ring, zumindest fällt mir keine sinnvolle Möglichkeit ein, darauf eine Addition und Multiplikation zu definieren - was ist 1+1, was ist (−1)⋅x,...?
\quoteoff
Ich meine doch aber das Rechnen mit repreesentanten liefert irgendwie ander Resultate als mit ganzen Nebenklassen, oder ich hab was missverstanden.
$\displaystyle 1*1= \overline (x^2+2)*\overline (x^2+2)=
\overline(x^4+4x^2+4)\mod x^2+1 =\overline {1}$.
also $\displaystyle 1*1=1$.
Sorry das ich das so auswälze aber wenn dann richtig😎
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DavidM
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-02-04
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\quoteon(2022-02-03 22:07 - juergenX in Beitrag No. 9)
you wrote
\quoteon
$x2+1$ ist irreduzibel, also ist das davon erzeugte Ideal ein Primideal. Und um zu zeigen, dass es nicht maximal ist, muss man nur ein größeres Ideal finden, zum Beispiel (x2+1).
\quoteoff
Da ist wohl ein Tippfehler?
Soll das x2+1 heissen?
\quoteoff
Ja klar, da hast du recht. Das war ein Tippfehler. Wenn man ein größeres Ideal als $(x^2+1)$ will, muss man so etwas wie $(x^2+1,2)$ nehmen. Mit einem Hauptideal geht das auf jeden Fall nicht. Zum Rest von deinem Beitrag schreibe ich später noch etwas, wenn ich mehr Zeit habe.
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DavidM
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-02-04
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\quoteon(2022-02-03 22:07 - juergenX in Beitrag No. 9)
you wrote
\quoteon
$x2+1$ ist irreduzibel, also ist das davon erzeugte Ideal ein Primideal. Und um zu zeigen, dass es nicht maximal ist, muss man nur ein größeres Ideal finden, zum Beispiel (x2+1).
\quoteoff
Da ist wohl ein Tippfehler?
Soll das x2+1 heissen?
Also mit overline ist eine unendliche Menge eben eine Restklasse gemeint.
Ohne overline ist ein Representant gemeint.
Das war die Vereinbarung.
$ (x^2+1) = \mathcal(I)$.
$\mathcal{x2+1}= \mathcal(J)$.
ist $\mathcal(J)$ wirklich größer als $\displaystyle\mathcal{I}$?
\quoteoff
Hier habe ich dich jetzt durch meinen Fehler auf etwas falsches gebracht. Das Ideal $(2x+1)$ ist natürlich nicht größer als $(x^2+1)$, keines von den beiden ist im anderen enthalten. Übrigens: Auch $(2x+1)$ ist ein Primideal, aber nicht maximal.
\quoteon
Das Ideal $\displaystyle \mathcal(x2+1)$ besteht doch aus $\displaystyle f(x)=-1,1,3,5,\dots$ also alle ungeraden konstanten Polymomen.
Representant ist $\displaystyle g(x)= -1$?
\quoteoff
Das ist leider vollkommen falsch: Wir sprechen hier von einem Ideal im Polynomring, das von $2x+1$ erzeugt wird. Das besteht damit (das ist die Definition des erzeugten Ideals) aus allen Polynomen, die Vielfache von $2x+1$ sind, also aus allen $(2x+1) \cdot g$ mit $g \in \mathbb{Z}[x]$. Insbesondere gibt es in diesem Ideal außer $0$ keine konstanten Polynome. Die Menge aller ungeraden Zahlen ist auch überhaupt kein Ideal: Weder enthält sie die $0$, noch ist die Summe von zwei ungeraden Zahlen wieder ungerade und wenn man eine ungerade Zahl mit irgendeinem Polynom multipliziert, ist das Ergebnis in der Regel auch keine ungerade Zahl mehr.
\quoteon
Das Ideal $\displaystyle \mathcal(x^2+1)$ besteht aus $\displaystyle (1,5,10,17,\dots)$, keine negativen elemente.
\quoteoff
Auch das ist falsch, der selbe Fehler wie eben.
\quoteon
Ist vleicht nicht so wichtig, aber $\displaystyle \mathcal(x2+1)$ und $\displaystyle \mathcal(x^2+1)$ überschneiden sich, keine ist $\displaystyle \gt \lor \lt$ als das andere.
Es gibt sicher "mehr" ungerade als $\displaystyle x^2+1$. aber die Mächtigkeit der Klassen ist gleich.
\quoteoff
Der erste Satz ist richtig, den zweiten verstehe ich nicht.
\quoteon
Sie lassen sich aber gar nicht vergleichen. oder? Was sind die Representanten der Restklassen $\displaystyle (x^2+1)$? offenbar $0$.
Die möglichen auftreteden Reste nach $\displaystyle\mathcal(x^2+1)$? sind wie ich meine (*) $\displaystyle f_r(x)= \{0,1,-1,x,-x,x+1,x-1\}$. Andere Reste können nicht auftreten.
Alle anderen lassen sich modulo $\displaystyle (x^2+1)$ reduzieren. deswegen restklassen
Die Ideale sind Kerne der Abbildungen in die Restklassen.
\quoteoff
das stimmt nicht, zum Beispiel kann man $2$ nicht weiter modulo $x^2+1$ reduzieren. Damit etwas in der selben Restklasse wie $2$ liegt, muss es von der Form $2+g \cdot (x^2+1)$ mit irgendeinem Polynom $g$ sein. Für $g \neq 0$ hat das aber mindestens Grad $2$.
\quoteon
Und dies bilden einen Ring, dem widersprachst du.
\quoteon
Maximale Ideale gibt es in dem Ring (die gibt es in jedem Ring), maximale Hauptideale gibt es nicht. Ein Beispiel für ein maximales Ideal hier wäre (x,2), also das Ideal, das von x und 2 erzeugt wird.
\quoteoff
Grösssere als (x,2) gibt es nicht. Aber (x,3) ist ein anderes maximales Ideal in Z[x].
\quoteoff
Das stimmt, $(x,3)$ ist auch ein maximales Ideal.
\quoteon
\quoteon
Nein, die 6 Elemente bilden so keinen Ring, zumindest fällt mir keine sinnvolle Möglichkeit ein, darauf eine Addition und Multiplikation zu definieren - was ist 1+1, was ist (−1)⋅x,...?
\quoteoff
Als Represntant der beiden Restklasse genommen kann man 1+1 üder x+1 nicht berechnen.sagtest du. Aber z.b.:
$\displaystyle \overline {x^2+2}*\overline {x^2+2} =\overline (x^4+4x^2+4) \mod x^2+1 =\overline (1)$. Das ist logisch, da $\displaystyle {x^2+2} \cong x^2+1+1 =1$
\quoteoff
Hier rechnest du nur $\overline{1} \cdot \overline{1}$, nicht $\overline{1}+\overline{1}$.
\quoteon
In #5 schriebst du oder ich auch:
$\displaystyle Z[x]/(x^2+1)$ besteht aus
\quoteon
$\displaystyle f(x)=0,1,−1,x,x−1,x+1$. Stimmt das so?
Diese 6 Elemente sind wie man leicht sieht ein Ring mit 0 und 1.
was du bestrittest.
\quoteoff
Du:
\quoteon
Nein, die 6 Elemente wie unter (*) bilden so KEINEN Ring, zumindest fällt mir keine sinnvolle Möglichkeit ein, darauf eine Addition und Multiplikation zu definieren - was ist 1+1, was ist (−1)⋅x,...?
\quoteoff
Ich meine doch aber das Rechnen mit repreesentanten liefert irgendwie ander Resultate als mit ganzen Nebenklassen, oder ich hab was missverstanden.
\quoteoff
Die Addition und Multiplikation von Restklassen in Ringen sind immer so definiert, dass für alle Ringelemente $f,g$ gilt: $\overline{f}+\overline{g}=\overline{f+g}$ und $\overline{f \cdot g}=\overline{f} \cdot \overline{g}$. (Wie sollte man es auch sonst definieren?)
\quoteon
$\displaystyle 1*1= \overline (x^2+2)*\overline (x^2+2)=
\overline(x^4+4x^2+4)\mod x^2+1 =\overline {1}$.
also $\displaystyle 1*1=1$.
Sorry das ich das so auswälze aber wenn dann richtig😎
\quoteoff
Wie oben schon gesagt: Hier berechnest du $1 \cdot 1$, nicht $1+1$.
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