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Integration » uneigentliche Integrale » Integral des Betrags von sinx/x
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Universität/Hochschule Integral des Betrags von sinx/x
photon007
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  Themenstart: 2022-01-27

Hallo, ich soll zeigen, dass das Integral von 0 bis unendlich der Funktion |sin(x)/x| nicht existiert. Das Integralvergleichskriterium kann ich ja nicht anwenden, da der Integrand nicht monoton fallend ist und eine divergente Minorante des Integranden fällt mir so spontan auch nicht ein. Man könnte vielleicht noch die Reihendarstellung des Sinus nutzen, aber da kürzt sich ja nur ein x, was mir für die Divergenz des Integrals auch nicht hilft. Ich wäre dankbar für einen Tipp (1. Semester).


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du kannst versuchen mit der harmonischen Reihe zu vergleichen. Es gilt $$ \int_0^{k\pi} \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \d x=\sum_{j=1}^k \int_{(j-1)\pi}^{j\pi}\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \d x\geq \sum_{j=1}^k \frac{1}{j\pi}\int_{(j-1)\pi}^{j\pi}\left|\sin(x)\right| \d x $$ LG Nico\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-01-27

Huhu photon007. der Standardweg nutzt dieses Lemma: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-01-27_um_14.47.16.png Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo photon007, versuche mal, in jedem Intervall \( [k\pi, (k+1)\pi]\) das Integral nach unten abzuschätzen. Viele Grüße Wally [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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photon007
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27

Es ist 0 <= |sin(x)| <= 1. Also ist die harmonische Reihe eine divergente Majorante. Ich brauche doch eine divergente Minorante, oder nicht? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, hier ein Tipp um eine Minorante zu finden: An den Stellen, wo $\sin(x) < \frac 12$ kannst Du $|\frac{\sin(x)}x|$ durch $0$ abschätzen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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photon007
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-27

Danke, diese Umwandlung von Integral zu Summe und Integral hatten wir leider noch nicht, wie kann ich das beweisen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-27

\quoteon(2022-01-27 14:55 - photon007 in Beitrag No. 4) Es ist 0 <= |sin(x)| <= 1. Also ist die harmonische Reihe eine divergente Majorante. Ich brauche doch eine divergente Minorante, oder nicht? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Ich hatte meinen Beitrag nochmal editiert. Da siehst du was ich meine. Das ist im Prinzip eine Vorstufe des Lemmas von Kuestenkind. LG Nico


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Wally
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) In dem von mir angegebenen Intervall ist \( \displaystyle \frac{|\sin x|}{x}\ge \frac{|\sin x|}{k\pi}\). Viele Grüße Wally Ach ja: "Hatten wir noch nicht" sollte dich nie dran hindern, eigene Ideen zu entwickeln.\(\endgroup\)


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