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Physik » Relativitätstheorie » Unterschied Pseudotensor und Tensor
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Universität/Hochschule Unterschied Pseudotensor und Tensor
Kiwi98
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  Themenstart: 2022-05-26

Servus zusammen, ich lese gerade ein Arbeitsbuch zur Relativitätstheorie und es wurde soeben der duale Feldstärketensor eingeführt. Nun heißt es dass das nur ein Pseudotensor ist, da er eine Vorzeichenänderung bei Raumspiegelung hat. Ich verstehe darunter, dass wenn ich $\vec{r}\rightarrow -\vec{r}$ und damit $\vec{B}\rightarrow -\vec{B}$ (E-Feld analog) transformiere, dass dann $\hat{F}^{\mu \nu} \rightarrow -\hat{F}^{\mu \nu}$ gilt. Nun bin ich etwas verwirrt, da dasselbe doch auch schon für den herkömmlichen Feldstärketensor gilt, welcher kein Pseudotensor ist. Es scheint also als wäre mir entweder der Begriff des Tensors/Pseudotensors noch nicht ganz klar oder ich verstehe die Raumspiegelung falsch. Könnte mir jemand eventuell mit einer (anschaulichen) Erklärung weiterhelfen, wie jetzt der unterschied von Pseudo-/Tensor aufzufassen ist? Danke euch und einen schönen Feiertag ^^ LG Kiwi


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-26

Bei einer Raumspiegelung transformiert sich $\bf E$ wie ein Vektor ($\mathbf E\mapsto-\mathbf E$) und $\bf B$ wie ein Pseudovektor ($\mathbf B\mapsto\mathbf B$). Der Feldstärketensor$$F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&-E_1&-E_2&-E_3\\E_1&0&-B_3&B_2\\E_2&B_3&0&-B_1\\E_3&-B_2&B_1&0\ \end{pmatrix}$$transformiert sich also wie $x^\mu$ mit der Matrix $D=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$, d.h. $x\mapsto D\,x$ und $F\mapsto D\,F\,D^T$, und ist somit ein Tensor. Der duale Feldstärketensor$$(*F)^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0&-B_1&-B_2&-B_3\\B_1&0&-E_3&E_2\\B_2&E_3&0&-E_1\\E_3&-E_2&E_1&0\ \end{pmatrix}$$transformiert sich mit $D$ und dreht zusätzlich noch sein Vorzeichen um, d.h. $*F\mapsto -D\,(*F)\,D^T$. Also ist er nur ein Pseudotensor. --zippy


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Kiwi98
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

Hi zippy, erstmal viele Dank für deine Hilfestellung! Wo hast du her dass sich das B-Feld wie ein Pseudovektor transformiert? Diese Vorstellung verwirrt mich etwas, dass eine Raumspiegelung keine Auswirkungen auf die B-Feldkomponenten haben sollte. Es ist ja $\mathbf{B}=\mathbf{B}(\vec{r})\rightarrow \mathbf{B}(-\vec{r})$ und das das nicht zwingend $-\mathbf{B}(\vec{r})$ (das was ich in meinem erste Post geschrieben hatte) kann ja gut sein. Bzw. wie genau soll das B-Feld transformieren? Auch mit der Matrix $\eta_{\mu\nu}$? Also nach dem Schema $\mathbf{B}'=\eta_{\mu\nu}\mathbf{B}$?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-26 16:43 - Kiwi98 in Beitrag No. 2) Wo hast du her dass sich das B-Feld wie ein Pseudovektor transformiert? \quoteoff Der Lorentzkraft $\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B$ ist wie $\mathbf E$ ein Vektor. Da auch $\mathbf v$ ein Vektor ist, muss wegen des Kreuzproduktes $\mathbf B$ ein Pseudovektor sein. \quoteon(2022-05-26 16:43 - Kiwi98 in Beitrag No. 2) Es ist ja $\mathbf{B}=\mathbf{B}(\vec{r})\rightarrow \mathbf{B}(-\vec{r})$ \quoteoff Jetzt wirfst du Vektoren und Vektorfelder durcheinander. \quoteon(2022-05-26 16:43 - Kiwi98 in Beitrag No. 2) und das das nicht zwingend $-\mathbf{B}(\vec{r})$ (das was ich in meinem erste Post geschrieben hatte) kann ja gut sein. \quoteoff Das Minuszeichen würde dort für einen Vektor stehen, nicht für einen Pseudovektor: \quoteon(2022-05-26 15:48 - zippy in Beitrag No. 1) Bei einer Raumspiegelung transformiert sich $\bf E$ wie ein Vektor ($\mathbf E\mapsto-\mathbf E$) und $\bf B$ wie ein Pseudovektor ($\mathbf B\mapsto\mathbf B$). \quoteoff \quoteon(2022-05-26 16:43 - Kiwi98 in Beitrag No. 2) Bzw. wie genau soll das B-Feld transformieren? Auch mit der Matrix $\eta_{\mu\nu}$? \quoteoff Die Matrix $D$ hat zwar die gleichen Komponenten wie $\eta$, aber sie hat mit der Metrik nichts zu tun. Es ist einfach die Matrix, die den Vektor $x$ transformiert: $x\mapsto D\,x$. \quoteon(2022-05-26 16:43 - Kiwi98 in Beitrag No. 2) Also nach dem Schema $\mathbf{B}'=\eta_{\mu\nu}\mathbf{B}$? \quoteoff $D$ transformiert 4er-Vektoren und 4er-Tensoren. Es lässt sich nicht auf $\bf B$ anwenden.


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Kiwi98
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

ok, danke dir! Die Lorentzkraft habe ich bisher noch nicht gesehen und ich werde erstmal das Kapitel im buch anschauen - vielleicht klärt sich ja einiges.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-26 18:06 - Kiwi98 in Beitrag No. 4) Die Lorentzkraft habe ich bisher noch nicht gesehen \quoteoff Statt der Lorentzkraft kannst du auch Maxwellsche Gleichung betrachten, die $\bf E$ und $\bf B$ koppeln: $\nabla\times\mathbf E=-\dot{\mathbf B}$ zeigt, dass entweder $\bf E$ oder $\bf B$ ein Pseudovektor sein muss. $\nabla\times\mathbf B=\mathbf j+\dot{\mathbf E}$ zeigt das ebenfalls. Und wenn man noch weiß, dass $\bf j$ ein Vektor ist, sieht man, dass $\bf E$ der Vektor und $\bf B$ der Pseudovektor ist.


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