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Mathematik » Strukturen und Algebra » Matrix-Algebra isomorph zu sich selbst mit umgekehrter Multiplikation?
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Universität/Hochschule Matrix-Algebra isomorph zu sich selbst mit umgekehrter Multiplikation?
kokosnusskopf
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  Themenstart: 2022-05-27

Stimmt es, dass \(M_n(K)\) für \(K\) algebraisch abgeschlossen zu \(M_n(K)^{opp}\), also der Matrix-Algebra mit der umgekehrten Multiplikation, als Algebra isomorph ist? Irgendwie kommt mir das komisch vor, aber ich könnte es beweisen. Jedenfalls finde ich keinen Fehler in meinem Beweis...


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27

Ah ey mir ist aufgefallen, dass das sogar für alle Körper \(K\) gilt. Und der Algebrenisomorphismus ist einfach gegeben durch die Transpositionsabbildung... stundenlang umsonst Kopf gemacht hahah


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-27

Es gilt sogar für jeden kommutativen Ring $R$. Also auch dann ist $M_n(R)$ zu $M_n(R)^{\mathrm{op}}$ isomorph als $R$-Algebra. Die Kommutativität von $R$ ist hier aber wichtig (bereits für $n=1$).


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