Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » Wer muss die Spülmaschine aus- und einräumen?
Autor
Kein bestimmter Bereich Wer muss die Spülmaschine aus- und einräumen?
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7848
Wohnort: Milchstraße
  Themenstart: 2022-06-25

In der WG muss mal wieder die Spülmaschine aus- und eingeräumt werden. Alice und Bob entscheiden mit einem Spielchen, wer am dransten ist. Sie werfen solange eine (selbstverständlich faire) Münze, bis zum ersten Mal zwei Mal hintereinander Kopf kommt (in diesem Fall gewinnt Alice) oder aber bis zum ersten Mal hintereinander Kopf und dann Zahl kommt (in diesem Fall gewinnt Bob). Frage 1: Ist dies ein faires Spiel? Um es etwas abwechslungsreicher zu gestalten, schlägt Alice bei der nächsten Gelegenheit folgende Variante vor. Beide haben eine eigene Münze und werfen diese jeweils simultan. Wenn Alice zuerst zwei Mal hintereinander Kopf wirft, gewinnt sie. Wenn es Bob zuvor gelingt erst Kopf und dann Zahl zu werfen, gewinnt er. (Bei Gleichstand wird das Spielchen wiederholt.) Frage 2: Ändert das etwas an der Situation? Antwortet gerne hier im Thread.


   Profil
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1502
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25

Ein netter Klassiker! \showon Frage 1: Ja, das Spiel ist fair. Die Münze hat kein Gedächtnis. Notwendig dafür, dass einer von beiden gewinnt ist immer, dass irgendwann mal Kopf kommt. Wenn immer nur Zahl kommt, dann ist das egal. Sobald zum ersten mal Kopf kommt, entscheidet der nächste (faire) Wurf den Ausgang des Spiels. Niemand ist hier benachteiligt. \showoff \showon Frage 2: Nein, jetzt ist das Spiel nicht mehr fair. Bei Interesse poste ich gerne eine ausführliche Herleitung, aber im Schnitt benötigt Bob nur vier Würfe, bis seine Kombination kommt, aber Alice benötigt im Schnitt 6 Würfe. \showoff LG Nico


   Profil
cramilu
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 1641
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-25

Frage 1: \showon Ja, das Spiel ist fair. Sobald zum ersten Mal überhaupt "Kopf" kommt, wird die Sache dann mit dem unmittelbar nächsten Wurf entschieden - mit "Fifty-Fifty"-Chance. \showoff Frage 2: \showon Jetzt hat Bob den Vorteil, dass, sobald er zum ersten Mal "Kopf" wirft, er mit seinem jeweils nächsten Wurf gewinnt ("Zahl") oder lediglich um einen Wurf verzögert ("Kopf"). Wenn Alice nach "Kopf" als nächstes "Zahl" wirft, muss sie wieder ganz von vorne beginnen und braucht zwei taugliche Würfe. \showoff


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7848
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 00:23 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Ein netter Klassiker! \quoteoff Mir war es neu 😃 Übrigens: Ein größerer oder kleinerer Erwartungswert bis zum Erreichen der Zielkonstellation mag ein Indiz sein, wer hier im Vorteil ist. Ein Beweis ist es aber noch nicht. Beispiel: Person 1 hat (bei irgend einem anderen Spiel) in 99 von 100 Fällen bereits nach dem ersten Zug die Zielkonstellation erreicht. Im letzten Fall dauert es aber 201 Züge. Das macht einen Erwartungswert von 3. Person 2 hingegen hat immer nach zwei Zügen die Zielkonstellation erreicht, also einen Erwartungswert von 2. Trotz größerem Erwartungswert gewinnt Person 1 in 99 von 100 Fällen.


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1502
Wohnort: Köln
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Da hast du natürlich Recht. Ich habe (mit Computerhilfe) noch die Wahrscheinlichkeiten berechnet und komme auf: \showon $A$ steht für die Anzahl der Würfe von Alice und $B$ für die Anzahl der Würfe von Bob, bis sie jeweils ihre Kombination geworfen haben. Dann ist $$ \mathbb P(BA)=\frac{39}{121}. $$ \showoff LG Nico \(\endgroup\)


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7848
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Hier noch die Auflösung in einem (wie ich finde) recht unterhaltsamen Video von Edmund Weitz. Allerdings argumentiert auch Weitz überwiegend mit den Erwartunswerten. Zum Schluss berechnet er aber dieselben Werte wie nzimme10 in #4. (Ebenfalls mit Computerhilfe.)


   Profil
StrgAltEntf hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]