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Universität/Hochschule Kommutatoren
physics100
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  Themenstart: 2022-06-25

Morgen! Es handelt sich wieder um Kommutatoren. Die Aufgabenstellung lautet: Werten Sie den Kommutator (siehe Anhang) aus, in dem Sie ihn auf eine Funktion Ihrer Wahl anwenden. Ich hab´die Aufgabe zwar lösen können, aber ich bin mir nicht sicher, ob all meine Rechenschritte korrekt sind. Könnt ihr bitte einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe? Mein Ergebnis stimmt auch mit der Lösung überein, aber um sicherzustellen, dass ich auch alles richtig gerechnet habe, brauche ich eure Meinung. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_20A5339F-105A-45A2-AD11-BDA58BF62665.jpeg


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FibreBundle
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25

Hallo! Ich bekomme ein Minus dazu. Wie habt ihr den Kommutator definiert? $[d^2_x, x]f = xd^2_xf-d^2_x(xf) = xd^2_x f - d_x(d_x(xf))$ $= xd^2_xf-d_x(f + xd_xf) = xd^2_xf- d_xf - d_x(xd_xf) = xd^2_xf- d_xf - d_xf - xd^2_x f$ $=-d_xf-d_xf = - 2d_x f.$


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-25

Auch wenn das Ergebnis richtig ist, ist die Rechnung, die dahin führt, konfus: * In der ersten Zeile ziehst du eine Ableitung nach links aus dem Kommutator heraus und betrachtest den Rest dann erst einige Zeilen weiter unten. * An der Stelle, wo du das tust, taucht eine Ableitung aus dem Nicht auf. * Die Funktion $f$ taucht nach eine paar Umformungen aus dem Nichts auf. Du kannst nicht innerhalb einer Gleichgungskette von Operatoren zur Anwendung von Operatoren auf $f$ übergehen. Diese Hinweise ließen sich wesentlich leichter mit deinen Schritten in Verbindung bringen, wenn du deine Rechnung hier abtippen und nicht als Bild einstellen würdest. Ich rechne hier mal das ähnliche Beispiel $[\partial_x^3,x^2]= 6\,\partial_x + 6x\,\partial_x^2$ vor:$$ [\partial_x^3,x^2]f = \partial_x^3\,x^2f - x^2\,\partial_x^3f = 6\,\partial_xf + 6x\,\partial_x^2f + x^2\,\partial_x^3f - x^2\,\partial_x^3f = 6\,\partial_xf + 6x\,\partial_x^2f$$--zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 08:34 - FibreBundle in Beitrag No. 1) Ich bekomme ein Minus dazu. \quoteoff Das Ergebnis ist richtig: $ [\partial_x^2,x]f = \partial_x^2xf - x\,\partial_xf = 2\partial_xf + x\,\partial_xf - x\,\partial_xf = 2\partial_xf$ \quoteon(2022-06-25 08:34 - FibreBundle in Beitrag No. 1) Wie habt ihr den Kommutator definiert? \quoteoff Etwas anderes als $[a,b]=ab-ba$ wäre sehr unüblich.


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FibreBundle
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-25

Uppsi, hab ich wieder ein Minus hinzugewurstelt. Wäre nicht das erste Mal. ^^


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physics100
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Zippy, ich versteh´s leider nicht. Ich dachte dass ich den Operator einfach rausziehen kann, da wir beispielsweise bei lz^2 den Operator auch links und rechts rausziehen können. Anscheinen habe ich hier falsch gedacht. Aber verstanden hab ich das ehrlich gesagt nicht. Können wir mal schritt für schritt herangehen? Edit: Wie kommst du auf 6dx oder 6x dx^2? Diese Schritte kann ich nicht nachvollziehen


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 12:17 - physics100 in Beitrag No. 5) Ich dachte dass ich den Operator einfach rausziehen kann, da wir beispielsweise bei lz^2 den Operator auch links und rechts rausziehen können. \quoteoff Du kannst die Formel $[a^2,b]=a\,[a,b]+[a,b]\,a$ anwenden. Das Problem ist, dass die beiden Summanden auf der rechten Seite in deiner Rechnung nicht als Summe auftauchen, sondern "zerrissen" werden. In deiner ersten Zeile steht so etwas wie $[a^2,b]=a\,[a,b]$, und der zweite Summand $[a,b]\,a$ kommt dann erst in der fünften Zeile wieder ans Tageslicht. \quoteon(2022-06-25 12:17 - physics100 in Beitrag No. 5) Wie kommst du auf 6dx oder 6x dx^2? Diese Schritte kann ich nicht nachvollziehen \quoteoff Allgemein gilt $(h\,f)'''=h'''f+3h''f'+3h'f''+h\,f'''$. Für $h(x)=x^2$ wird daraus $(x^2f)'''=6f'+6xf''+x^2f'''$.


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physics100
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Die Summanden habe ich separiert und am Ende wieder zusammengefasst, da ich sonst den Überblick verliere. Ehrlich gesagt habe ich die allgemeine Schreibweise immer noch nicht verstanden. Könntest du mal den Ansatz für dieses Beispiel formulieren. Vielleicht kann ich´s dann nachvollziehen. Oder vielleicht ist es besser, wenn wir von vorne anfangen. Ich fang mal ganz von vorne an: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_B8760B9D-F1A6-479A-8060-703F81483B9F.jpeg


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-25

\quoteon(2022-06-25 15:46 - physics100 in Beitrag No. 7) Die Summanden habe ich separiert und am Ende wieder zusammengefasst, da ich sonst den Überblick verliere. \quoteoff Dann darfst du nicht einfach Gleichheitszeichen zwischen alles setzen, was du aufschreibst. Der Gesamtausdruck am Anfang ist nicht gleich dem ersten Summanden. \quoteon(2022-06-25 15:46 - physics100 in Beitrag No. 7) Ich fang mal ganz von vorne an: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54385_B8760B9D-F1A6-479A-8060-703F81483B9F.jpeg \quoteoff Du machst bereits hier einen oben angesprochenen Fehler: \quoteon(2022-06-25 08:50 - zippy in Beitrag No. 2) * Die Funktion $f$ taucht nach eine paar Umformungen aus dem Nichts auf. Du kannst nicht innerhalb einer Gleichgungskette von Operatoren zur Anwendung von Operatoren auf $f$ übergehen. \quoteoff Das gleiche Problem hast du auch in diesem parallelen Thread: \quoteon(2022-06-25 16:26 - PhysikRabe in Beitrag No. 13) Möchtest du die Rechnung mit Operatoren oder mit Funktionen (also Elementen des Hilbertraums) durchführen? Was ist denn $f$, und was passiert damit? \quoteoff


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physics100
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Ich versteh´jetzt was du meinst Zippy. Ich verbessere das schnell aus. Aber stimmt die ganze Rechnerei an sich? Oder hab´ ich hier auch irgendwelche Fehler?


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