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  Irrationale Zahlen mit Folge rationaler Zahlen darstellen, deren Nenner wächst? |
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elO
Neu 
Dabei seit: 01.02.2022
Mitteilungen: 2
Wohnort: Deutschland, Hamburg
 |  Themenstart: 2022-06-25
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Hallo, ich beschäftige mich gerade mit transzendenten Zahlen und lese das Buch „Was ist Mathematik“ von Courant und Robbins. In dem Buch wird gesagt, dass man für jede irrationale Zahl eine Folge rationale Zahlen findet die gegen diese irrationale Zahl konvergiert und das, wenn man diese Folge als Brüche darstellt, der Nenner der Zahlen der Folge immer größer wird. Leider weiß ich nicht so ganz genau warum man das annehmen können. Ich weiß dass es diese Folge gibt aber warum die Folge die Eigenschaft hat, dass der Nenner der Zahlen, wenn diese als Bruch dargestellt werden, immer größer wird ist mir unbekannt. Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Liebe Grüße
Ole
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1502
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier auf dem Matheplaneten! :)
Sei $x_0\in \mathbb R$ eine beliebige irrationale Zahl und sei $n_0\in \mathbb N^+$ eine beliebige natürliche Zahl.
Wenn du dir nun ein beliebiges $\varepsilon>0$ hernimmst, dann gibt es im Intervall $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ auch höchstens endlich viele rationale Zahlen, deren Nenner kleiner als $n_0$ ist.
Wenn du $\varepsilon$ hinreichend klein machst, dann gibt es in diesem Intervall gar keine rationale Zahl mehr, deren Nenner kleiner als $n_0$ ist.
Wenn du also eine Folge rationaler Zahlen hast, die gegen $x_0$ konvergiert, dann müssen die Nenner notwendig immer größer werden, so dass noch fast alle Folgeglieder in dem jeweiligen Intervall liegen (was ja letztlich die Bedeutung der Konvergenz der Folge ist).
Tatsächlich hat also jede Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert, die Eigenschaft, dass die Nenner der Folgeglieder immer größer werden müssen.
LG Nico\(\endgroup\)
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zathe
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Mitteilungen: 81
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-25
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\quoteon(2022-06-25 20:24 - elO im Themenstart) Ich weiß dass es diese Folge gibt aber warum es auch eine Folge gibt...
\quoteoff
Hi,
mit "auch" implizierst du gewissermaßen, dass eine Irrationalzahl x existiert, gegen die eine Folge rationaler Zahler konvergiert, bei der die Nenner der Folgenglieder aber nicht beliebig anwachsen, was ein Widerspruch in sich ist.
Bei jeder Folge rationaler Zahlen, die gegen eine Irrationalzahl konvergiert, wächst der Nenner beliebig an.
Gruß
zathe
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 7848
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-25
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\quoteon(2022-06-25 20:24 - elO im Themenstart)
ich beschäftige mich gerade mit transparenten Zahlen
\quoteoff
Hallo elO,
ich nehme an, du beschäftigst dich mit transzendenten Zahlen 🙃
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zathe
Aktiv
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Mitteilungen: 81
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-25
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Wenn du gleich etwas Nicht-Triviales lernen willst, schau dir den Satz von Thue-Siegel-Roth an oder besser vorher noch den Dirichletschen Approximationssatz.
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elO
Neu
Dabei seit: 01.02.2022
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Wohnort: Deutschland, Hamburg
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25
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Vielen Dank für eure Hilfe und Verbesserungsvorschläge. Ich habe meinen Post euren Anmerkungen entsprechend korrigiert. Auch vielen Dank für eure schnellen und hilfreichen Antworten. Mit denen habe ich es jetzt verstanden.
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