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 Funktion umstellen |
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Max_Br
Aktiv 
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
 |  Themenstart: 2022-06-29
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Hallo,
vielleicht ist meine Frage etwas simpel, aber ich stecke etwas fest.
Ich muss
sin(z) + exp(yz) - x + y - 2 = 0
nach z umstellen um am Ende
z = g(x,y) stehen zuhaben
Bisher habe ich :
sin(z) + exp(yz) = x - y + 2
Ich würde jetzt den arcsin anwenden
z + arcsin(exp(yz)) = arcsin(x) - arcsin(y) + arcsin(2)
Das bringt mich nicht wirklich weiter. Ich könnte auch den ln() anwenden um exp() aufzulesen. Das hilft aber auch nicht weiter. Deshalb habe ich das Gefühl, dass ich komplett auf dem Holzweg bin...
Kann mir da jemand helfen?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9505
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-29
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Hallo,
\quoteon(2022-06-29 16:24 - Max_Br im Themenstart)
vielleicht ist meine Frage etwas simpel, aber ich stecke etwas fest.
Ich muss
sin(z) + exp(yz) - x + y - 2 = 0
nach z umstellen um am Ende
z = g(x,y) stehen zuhaben
\quoteoff
Bist du dir da ganz sicher? Das wird auf algebraisch/analytischem Weg nicht möglich sein. Kann es aber sein, dass du das gar nicht konkret tun sollst sondern nur beweisen, dass es (lokal) möglich ist?
Wie lautet denn in diesem Zusammenhang die Aufgabenstellung im Originalwortlaut?
Gruß, Diophant
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46579
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-29
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Hi Max_Br,
du verwendest Rechengesetze, die nicht gelten.
Merke dir, dass die Umformung arcsin(x+y)=arcsin(x)+arcsin(y) und Ähnliches, von der du mehrfach Gebrauch machst, nicht zulässig ist.
Gruß Buri
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Max_Br
Aktiv 
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30
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Danke für die Antworten.
Für die oben genannte Funktion soll ich zeigen, dass
N_f(0) in der Nähe des Punktes
x_. =1, y_. =2, z_. =0
lokal via z = g(x,y) als Graph dargestellt werden kann.
Bei der Bearbeitung habe ich mich an einem Beispiel aus dem Skript orientiert.
Dabei war es zu zeigen, dass f(x_. , y_. , z_. )=c gilt. In meinem Fall war c=0.
Nun soll
f´(x) != 0
f´(y) != 0
f´(z) != 0
gelten. Das war der Fall. Im Skript steht nun f(x,y)=c <=> y=g(x)
In einem Beispiel steht:
f(x,y)=x^2 + y^2
Somit x^2 + y^2 = c
Für y_. > 0 gilt dann y=g(x)=+sqrt(c-x^2)
Deshalb habe ich mir Gedacht, dass ich am Ende nur noch nach z umstellen muss.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9505
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-30
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Hallo,
\quoteon(2022-06-30 11:22 - Max_Br in Beitrag No. 3)
Danke für die Antworten.
Für die oben genannte Funktion soll ich zeigen, dass
N_f(0) in der Nähe des Punktes
x_. =1, y_. =2, z_. =0
lokal via z = g(x,y) als Graph dargestellt werden kann.
\quoteoff
Dann geht es hier ganz offensichtlich um eine Anwendung des Satzes von der impliziten Funktion (so wie ich angenommen hatte). Kann es sein, dass dieser Satz bei euch gerade Thema ist bzw. war?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
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Max_Br
Aktiv
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-01
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Danke Diophant,
Ich bin im Skript zurückgeblättert und habe gesehen, dass dieser Satz vorkam.
Da war ich dann wohl stark auf dem Holzweg.
Ich setze mich da nochmal ran und hoffe, dass ich es dann hinbekomme...
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Max_Br
Aktiv
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02
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Ich habe mich nochmal dran gesetzt.
Ich verstehe nun, dass:
- f(x_0 , y_0 , z_0)=0 in meinem bsp
- D_z f(x_0 , y_0 , z_0)!=0
erfüllt sein muss.
Das ist bei mir so. Nun verstehe ich nicht, wie ich auf die Form g(x,y)=z komme.
Ich habe ein paar mal gesehen, dass man das mit Hilfe von partiellen Ableitungen und der mehrdimensionalen Kettenregel nach z auflösen kann.
Stimmt das? Falls ja, kann mir jemand erklären wie man diese Kettenregel anwendet? Ich finde dazu nichts im Skript und aus dem Internet werde ich auch nicht wirklich schlau...
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9505
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-02
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Hallo,
könntest du bitte die Aufgabenstellung einmal im Originalwortlaut angeben?
Gruß, Diophant
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Max_Br
Aktiv
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-02
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Betrachtet werden soll die Funktion f: \IR^3 -> \IR mit
f(x,y,z) = sin(z) + exp(yz) - x + y - 2
Sowie ihre Nullstellen N_f (0). Zeigen Sie, dass N_f (0) in der Nähe des Punktes
x_0 =1 , y_0 =2 , z_0 = 0
lokal via z = g(x,y) als Graph dargestellt werden kann.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1502
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
darauf wollte Diophant sicherlich hinaus. Hier wird nicht gefragt, wie $g$ konkret aussieht (da man das hier wohl kaum bewerkstelligen kann). Du sollst lediglich zeigen, dass es möglich ist, diese Gleichung in einer Umgebung des gegebenen Punktes in dieser Form aufzulösen.
Dabei hilft, wie bereits angesprochen, der Satz über implizite Funktionen.
LG Nico\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9505
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-02
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Hallo,
\quoteon(2022-07-02 14:31 - Max_Br in Beitrag No. 8)
Betrachtet werden soll die Funktion f: \IR^3 -> \IR mit
f(x,y,z) = sin(z) + exp(yz) - x + y - 2
Sowie ihre Nullstellen N_f (0). Zeigen Sie, dass N_f (0) in der Nähe des Punktes
x_0 =1 , y_0 =2 , z_0 = 0
lokal via z = g(x,y) als Graph dargestellt werden kann.
\quoteoff
Ist dir klar, dass da nirgends steht, dass man diese Darstellung angeben soll? Es reicht zu zeigen, dass sie existiert...
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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