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Mathematik » Stochastik und Statistik » Abzählbare Folge unabhängiger Bernoulli-Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Abzählbare Folge unabhängiger Bernoulli-Zufallsvariablen
Math_Marie
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.07.2022
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  Themenstart: 2022-07-04

Hallo, ich bin gerade dabei etwas Wahrscheinlichkeitstheorie nachzuholen und ein paar Übungsaufgaben zu machen. Bei folgender komme ich nun gar nicht voran. Zz: Es existiert genau dann eine auf \([0,1]\) gleichverteilte Zufallsvariable \(X\), wenn es eine unabhägige Folge \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) zum Parameter \(\frac{1}{2}\) Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen gibt. Ich habe leider zu keiner der Implikationen dieser Äquivalenz eine Idee und bin daher jedem für Tipps und Hinweise dankbar :) LG Marie


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-04

Um eine Abbildung zwischen $X$ und der Folge $(X_n)$ zu finden, solltest du an die Reihe $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n$ denken. --zippy


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Math_Marie
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Hi Zippy, erstmal danke für deine schnelle Antwort. Also mit der von dir angesprochenen Reihe kann ich ja jede reelle Zahl \(x\in [0,1)\) auf eindeutige Weise mit \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) schreiben, so dass für jedes \(n\in\mathbb{N}\) ein \(k\in\mathbb{N}\) mit \(k\geq n\) und \(x_k=0\) existiert. Allerdings komme ich nicht drauf, wie ich dies nun nutzen kann LG Marie


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-04

\quoteon(2022-07-04 12:02 - Math_Marie in Beitrag No. 2) Allerdings komme ich nicht drauf, wie ich dies nun nutzen kann \quoteoff Grob gesagt: Wenn $X$ gegeben ist, schreibe den Wert von $X$ als Reihe und definiere $(X_n)$ als die Folge der Koeffizienten. Wenn die Folge $(X_n)$ gegeben ist, definieren $X$ als Wert der Reihe.


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Math_Marie
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Leider erkenne ich momentan noch nicht, wie ich da jetzt genau vorgehen muss. Könntest du das noch etwas nächer erläutern? Am besten betrachten wir dies konkret an einer der Richtungen. Also haben wir nun \(X\) gegeben: Wir haben also eine gleichverteilte Zufallsvariable \(X\) gegeben. Ich denke, wir müssen nun die von dir angesprochene Reihe nutzen. Also für alle \(x_i \in X\) gilt dann: \[x_i=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n\] Wie es weiter geht, bzw. ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin oder komplett auf nem Holzweg, weiß ich leider überhaupt nicht :/


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hi Math_Marie und willkommen hier im Forum! Ich glaube, du hast die Idee hinter zippy's Hinweis noch nicht so ganz verstanden. Mache dir nochmal klar, dass für deine Zufallsvariablen \(X_i\in\lbrace 0,1\rbrace\) gilt. Bedeutet: ein solches Reihenglied ist entweder eine Zweierpotenz (mit negaitivem Exponenten) oder gleich Null. Wenn ich jetzt einmal noch mit dem Stichwort Stellenwertsystem winke, wird dir die Idee dahinter jetzt klar? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Math_Marie
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Hallo Diophant, ich stehe ehrlich gesagt etwas auf dem Schlauch und irgendwie löst sich der Knoten in meinem Kopf nicht :(


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-04 16:10 - Math_Marie in Beitrag No. 6) Hallo Diophant, ich stehe ehrlich gesagt etwas auf dem Schlauch und irgendwie löst sich der Knoten in meinem Kopf nicht :( \quoteoff Für jede Belegung deiner Folge \(\left(X_n\right)_{n\in\IN}\) lässt sich die Summe \(\sum_{i=1}^{\infty}2^{-i}X_i\) als reelle Zahl aus \([0,1]\) auffassen - dargestellt im Binärsystem, also dem Stellenwertsystem mit der Basis 2. Was folgt nun aus der Unabhängigkeit der \(X_i\) und damit für die Verteilung der ZV \(X\)? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Math_Marie
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Also, aus der Unabhängigkeit der \(X_i\) folgt denke ich: \[F_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^n F_{X_i}(x_i)\] Meinst du das? Ansonsten bin ich mir gerade nicht sicher.


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Math_Marie
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Ich hatte nun noch folgende Überlegung: Also eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit Parameter 1/2 ist eine Gleichverteilung. Damit müssten ja auch alle Zufallsvariablen in \(X_n\) gleichverteilt sein und würde daraus nicht direkt die Existenz einer gleichverteilten Zufallsvariable \(X\) folgen?


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-07-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, Theorie ist schön und gut. Aber du solltest dir einmal klar machen, wie der Hinweis von zippy praktisch funktioniert (das hatte ich oben ja schon erläutert). \quoteon(2022-07-04 21:17 - Math_Marie in Beitrag No. 9) Ich hatte nun noch folgende Überlegung: Also eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit Parameter 1/2 ist eine Gleichverteilung. \quoteoff Das ist soweit richtig. \quoteon(2022-07-04 21:17 - Math_Marie in Beitrag No. 9) Damit müssten ja auch alle Zufallsvariablen in \(X_n\) gleichverteilt sein und würde daraus nicht direkt die Existenz einer gleichverteilten Zufallsvariable \(X\) folgen? \quoteoff Schon, aber das will ja noch begründet sein. Warum greifst du denn zippy's Tipp nicht auf? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Math_Marie
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Um ehrlich zu sein, weil ich zippys Tipp nicht genau verstanden habe. Ist folgendes gemeint? \[X:=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n\] Und ich weiß ja ebenfalls, dass \(X_n\in(\{0,1\})\) gilt. Und da alle Summanden gleich sind, ist \(X\) gleichverteilt. Stimmt die Idee so?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-07-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-04 22:33 - Math_Marie in Beitrag No. 11) Um ehrlich zu sein, weil ich zippys Tipp nicht genau verstanden habe. Ist folgendes gemeint? \[X:=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n\] \quoteoff Ja. Was verstehst du daran nicht? Wenn wir einmal annehmen, dass zu jedem festen \(\omega\) eine Folge \(X_1(\omega),X_2(\omega),\dotsc\) gehört, welche Eigenschaft hat denn dann die Funktion \[X(\omega)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}X_n(\omega)\] ? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-07-04

\quoteon(2022-07-04 21:17 - Math_Marie in Beitrag No. 9) Damit müssten ja auch alle Zufallsvariablen in \(X_n\) gleichverteilt sein und würde daraus nicht direkt die Existenz einer gleichverteilten Zufallsvariable \(X\) folgen? \quoteoff Daraus folgt, dass du viele (diskrete) Zufallsvariablen hast, die auf $\{0,1\}$ gleichverteilt sind. Du suchst aber eine (stetige) Zufallsvariable, die auf $[0,1]$ gleichverteilt ist. \quoteon(2022-07-04 22:33 - Math_Marie in Beitrag No. 11) Und da alle Summanden gleich sind, ist \(X\) gleichverteilt. \quoteoff In welchem Sinne sind denn alle Summanden gleich? Der dritte Summand $2^{-3}X_3$ ist doch z.B. nicht gleich dem vierten Summanden $2^{-4}X_4$. Dein Argument ist auch viel zu allgemein, um wahr zu sein. Zwar ist $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}X_n$ gleichverteilt, $\sum_{n=1}^\infty 3^{-n}X_n$ ist es aber z.B. nicht.


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Math_Marie
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-04

Ich habe gerade echt nen richtiges Brett vorm Kopf und bin momentan selbst total frustriert. Zunächst mal zu zippys Anmerkung: Ja klar, da hatte ich einen Denkfehler, dass war so natürlich nicht richtig. Zu Diophant: Ich stelle mich gerade wahrscheinlich extrem dumm an, aber ich erkenne einfach nicht, wie ich darauf kommen soll, dass die Reihe gleichverteilt ist


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zippy
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-07-04

\quoteon(2022-07-04 23:31 - Math_Marie in Beitrag No. 14) ich erkenne einfach nicht, wie ich darauf kommen soll, dass die Reihe gleichverteilt ist \quoteoff Du kannst etwa zeigen, dass $P(X


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Math_Marie
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Also jetzt schmeiß ich in meinem Kopf echt alles durcheinander. Ich sitze schon viel zu lange an der Aufgabe. Jetzt bin ich auch mit dem \(P(X


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-07-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-07-04 23:31 - Math_Marie in \(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 10:20 - Diophant in Beitrag No. 17) \[P(X1$ ist nicht $P(XBeitrag No. 17) - Gibt es für ein beliebiges \(x\in[0,1]\) mehrere Belegungen deiner Folge \((X_n)\), so dass \(\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}X_n=x\) gilt? - Gibt es für jedes \(x\in[0,1]\) eine solche Belegung, so dass \(\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}X_n=x\) gilt? Was folgt dann aus den Antworten auf diese Fragen? \quoteoff Es gibt durchaus mehrere Werte von $(X_n)$, die auf den gleichen Wert von $X$ abgebildet werden. Aber selbst wenn diese Abbildung bijektiv wäre, würde daraus noch nicht folgen, dass $X$ gleichverteilt ist.


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