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Analysis » Funktionalanalysis » Konvergenz in L^p-Räumen
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Universität/Hochschule J Konvergenz in L^p-Räumen
Berpal23
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  Themenstart: 2022-08-07

Hi, sei $f_n\in L^2(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R)$ und es gebe ein $f\in L^2(\mathbb R)$ mit $f_n\rightarrow f$ in $L^2(\mathbb R)$ und ein $C>0$ mit $\|f_n\|_\infty\leq C$ a) Zeigen Sie $f\in L^\infty(\mathbb R)$ b) Zeigen Sie, dass $f_n\rightarrow f$ in $L^p(\mathbb R)$ für alle $p\in [2,\infty)$ Bei a) bekomme ich mit der Dreiecksungleichung $\|f\|_\infty\leq C+\|f_n-f\|_\infty$ Ich verstehe nicht, warum der Term $\|f_n-f\|_\infty$ endlich ist. Konvergenz in der $L^2$ Norm bedeutet ja nicht Konvergenz in der $L^\infty$ Norm. Bei b) komme ich ich leider nicht weiter. Danke für Hinweise und einen schönen Sonntag


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-07

Hallo Berpal23, zu a): Überlege dir, was die Konvergenz in \(L^2\) für die Funktion \(f_n-f\) bedeutet. lg Wladimir


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Berpal23
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07

Das bedeutet, dass es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n_0\in\mathbb N$ gibt, sodass für alle $n\geq n_0$ gilt $\int |f_n-f|^2d\lambda<\varepsilon$. Für $\varepsilon\rightarrow 0$ ist das der Fall wenn $|f_n-f|$ fast überall 0 ist. Also ist $|f_n-f|$ wesentlich beschränkt, oder?


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Berpal23
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07

Für b) ist mir auch noch eine Idee gekommen. Sei $n_0$ so gewählt, dass $|f_n-f|<1$ für alle $n\geq n_0$.Dann folgt für $p\geq 2$: $0\leq \|f_n-f\|_p^p=\int |f_n-f|^pd\lambda \leq \int |f_n-f|^2 d\lambda=\|f_n-f\|_2^2\rightarrow 0$. Das bedeutet, dass $f_n\rightarrow f$ in $L^p$.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-07

Hallo, \quoteon(2022-08-07 16:34 - Berpal23 in Beitrag No. 2) Das bedeutet, dass es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n_0\in\mathbb N$ gibt, sodass für alle $n\geq n_0$ gilt $\int |f_n-f|^2d\lambda<\varepsilon$. Für $\varepsilon\rightarrow 0$ ist das der Fall wenn $|f_n-f|$ fast überall 0 ist. Also ist $|f_n-f|$ wesentlich beschränkt, oder? \quoteoff das sieht gut aus. \quoteon(2022-08-07 17:05 - Berpal23 in Beitrag No. 3) Für b) ist mir auch noch eine Idee gekommen. Sei $n_0$ so gewählt, dass $|f_n-f|<1$ für alle $n\geq n_0$.Dann folgt für $p\geq 2$: $0\leq \|f_n-f\|_p^p=\int |f_n-f|^pd\lambda \leq \int |f_n-f|^2 d\lambda=\|f_n-f\|_2^2\rightarrow 0$. Das bedeutet, dass $f_n\rightarrow f$ in $L^p$. \quoteoff das sieht auch gut aus, man müsste aber wohl erwähnen, dass die Ungleichung \(|f_n-f|<1\) nur wesentlich gilt. lg Wladimir


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Berpal23
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07

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