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Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » Wie kann man das lösen ?
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Beruf Wie kann man das lösen ?
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2022-08-10

19 a^x b^x = a^(4x)+a^x = b^(2x)+5^x b^x a,b,x sollen positive ganze Zahlen sein.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9650
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-10

Hallo und willkommen hier im Forum! In welchem Zusammenhang stellt sich dir diese Aufgabe? Ich sehe hier ad hoc keine Möglichkeit, die Gleichung eindeutig zu lösen, selbst wenn es eine solche Lösung gäbe. Denn das ist eine Gleichungskette, die man letztendlich in zwei Gleichungen aufsplitten kann - zu wenig für drei Unbekannte. Ganz abgesehen von den sonstigen Schwierigkeiten, die so etwas aufwirft. Gruß, Diophant


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cramilu
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Mitteilungen: 1733
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
  Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-10

Man betrachte zunächst den Mittelteil und setze mit \(a=2\) an... Findet man bei schrittweiser Erhöhung von \(x\) ab \(1\) an eine Summe, welche sich durch \(19\) teilen lässt? Ich: Ja! 😎


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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 1730
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-10

Da hier nichts von "elegante Lösung" oder "perfektes Umstellen" oder "ALLE möglichen Lösungen" steht, kann man auch mit https://de.wikipedia.org/wiki/Brute-Force-Methode einfach probieren und bekommt schon für a,b,x alle < 4 eine Lösung. Interessant könnte ein Beweis aussehen, dass es nicht noch weitere Lösungen gibt...


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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3025
Wohnort: Werne
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-10

Gibt es nicht. Ciao, Thomas


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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2307
Wohnort: Thüringen
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-10

Frag mal blackpenredpen auf Youtube, der hat's drauf ! https://www.youtube.com/c/blackpenredpen/videos


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11

Mit 2,3,3 passt es. Danke allen für die guten Antworten.


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11

\quoteon(2022-08-11 08:17 - muddle in Beitrag No. 6) Mit 2,3,3 passt es. Danke allen für die guten Antworten. \quoteoff Hi, du willst nur eine Lösung kennen und keine vollständige Lösung des Gleichungssystems? Leider hast du auch nicht auf Diophants Frage geantwortet, in welchem Zusammenhang sich dir diese Frage stellt. Viele Grüße zathe


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DerEinfaeltige
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Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3176
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-11

Durch ein paar elementare Umformungen (ausklammern von $a^x,b^x$) lässt sich der Suchraum leicht auf kleine Zahlen einschränken. Bspw. gilt $a^x(361-a^{2x}) = 19\cdot 5^x + 1$ $a$ ist also kleiner als 19 und für $a>2$ gilt $x<3$. Das Auffinden der Lösung und der Ausschluss weiterer ist damit auch ohne Computer problemlos möglich. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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