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Analysis » Integration » Mantelfläche eines Rotationsparaboloids
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Universität/Hochschule J Mantelfläche eines Rotationsparaboloids
Max1235813
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  Themenstart: 2022-08-11

Hallo ihr Lieben, ich verzweifle schon einige Zeit an dieser einen Aufgabe. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von P={(x,y,z): z=2-x^2-y^2, x^2+y^2 <= 2}. Also habe ich x^2 + y^2 = r^2 genommen. Damit würde ja gelten(0


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-11

Hallo, zwei Fragen: - Wie kommst du auf deinen Integranden? Der stimmt jedenfalls nicht. - Was hat das mit dem Cavalieri-Prinzip zu tun? Befrage einmal deine Unterlagen dahingehend, wie man die Mantelfläche von Rotationskörpern ausrechnet. Für den eindimensionalen Fall kannst das hier nachlesen. Soll es mit einem ein- oder einem mehrdimensionalen Integral gelöst werden? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Integration' von Diophant]


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Max1235813
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11

Hallo, danke für die Antwort. Also meine Idee war, dass sich die Mantelfläche ja aus den aufsummierten Umfängen bei gegebenem z zusammensetzt. Der Umfang in Abhängigkeit von z wäre ja, wenn r = sqrt(2-z), Umfang U = 2\pi*r = 2\pi*sqrt(2-z). Und z läuft ja von 0 bis 2, also das Integral int(2\pi*sqrt(2-z),z,0,2). Cavalieri bezieht sich ja eigentlich auf Volumina aus Flächenstücken, aber ich sehe noch nicht so ganz den Fehler, warum es mit Umfängen und Flächen nicht auch klappen sollte. Die Aufgabe sollte auch so gelöst werden (sie läuft zumindest unter dem Thema wie auch andere Cavalieri Aufgaben). Danke soweit schonmal :)


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Max1235813
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11

Kleiner Nachtrag: Also mit der Rechnung für einen Rotationskörper komme ich auf das gewünschte Ergebnis.


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-11

Hallo, so einfach wie bei Volumina ist das aber bei Mantelflächen nicht. Was du da aufsummierst, sind infinitesimale Flächenstreifen, soweit stimmt es überein. Während man sich bei den infinitesimalen Salami-Rädchen, die man beim Volumen aufsummiert, darauf verlassen kann, dass diese Scheiben schon vor dem Grenzübergang jeweils die gleiche Breite haben, ist dies bei diesen Flächenstreifen nicht der Fall, denn die haben ja überall eine unterschiedliche "Steigung". Wie das berücksichtigt wird, kannst du jedem vernünftigen Analysis 1-Lehrbuch entnehmen, oder eben bspw. der oben verlinkten Wikipedia-Seite. Ein gewisser Pythagoras wird da benötigt... Dein Ansatz ist jedenfalls falsch, daher auch das falsche Ergebnis. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Max1235813
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-11

Habe es mir gerade nochmal klar gemacht, dankesehr. Vielen Dank und einen schönen Abend Max😄


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