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Mathematik » Geometrie » Was ist mit der Tangentialebene zu einer Ebene gemeint?
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Universität/Hochschule J Was ist mit der Tangentialebene zu einer Ebene gemeint?
Feline_Stoja
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 16.08.2022
Mitteilungen: 9
  Themenstart: 2022-08-16

Hallo zusammen, ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht ganz verstehe wonach gesucht ist - vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen. Die Aufgabenstellung lautet: Gesucht ist eine Tangentialebene T zu einer Ebene A im R^3 mit Parameterdarstellung \ \phi2(u, v) = a + us + vt, u, v\el\ \IR, a, s, t \el\ \IR^3 im Punkt \ \phi2(0, 0) = a Zum einen verstehe ich nicht worauf sich die gegebene Parameterdarstellung bezieht. Soll die Tangentialebene so aussehen oder ist das die Ebene A selbst? Ich verstehe wie man eine Tangentialebene an sich berechnet (zu einer Fläche oder einer Kugel/einem Kugelausschnitt). Aber eine Ebene kann doch keine Tangentialebene haben oder? Das wäre dann nämlich ja gerade die Ebene selbst. Ich habe verschiedene Ideen die Aufgabe zu lösen. (Auch wenn ich die Aufgabenstellung selbst leider nicht verstehe) Die Vektoren, die die Tangentialebene aufspannen sind ja gerade s und t. Ich könnte das Kreuzprodukt \ (s_1;s_2;s_3)vec(x)(t_1;t_2;t_3) aufstellen - aber dann weiß ich nicht weiter. Ist das die Tangentialebene? Das wäre doch nur der Normalenvektor. Eine andere Idee wäre die z-Komponente auszulesen und so ließe sich die Tangentialebene aus der Parameterdarstellung wie folgt aufstellen: \ z=a_3+x*s_3+y*t_3 Aber auch das scheint mir etwas weit hergeholt. Auch frage ich mich, was mir die Information \ \phi2(0, 0) = a genau sagen soll oder ob diese überhaupt relevant ist für die Aufgabe. Bin total verzweifelt und weiß hier nicht mehr weiter :( Ich wäre für jede Hilfe dankbar! Ich hoffe ich habe die Formatierung richtig hinbekommen, falls nicht tut es mir sehr leid. Ich hatte mit dem Formeleditor noch keine Erfahrung.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-16

Hallo und willkommen hier im Forum! in meinen Augen hast du völlig recht mit deinen Zweifeln. Vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung? Um das zu überprüfen: könntest du einmal (auf irgend einem Weg, man kann hier bspw. auch Bilder hochladen) die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut posten? Dann kann man das besser entscheiden. Gruß, Diophant


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Hallo Diophant und vielen Dank für das willkommen heißen! Ich habe gerade auch gesehen, dass ich meine Formatierung total vermasselt habe. Hier wäre die Aufgabe: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55802_Aufgabe3_Tang.PNG Sonst gibt es auch keine weiteren Hinweise. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-16

Hallo, ok, das ergibt für mich keinen Sinn. Ich kann auch keine Vermutung aussprechen, was gemeint sein könnte. Jedenfalls ist die einzige Tangentialebene an eine Ebene die Ebene selbst. Zumindest, so lange wir es mit euklidischer Geometrie zu tun haben... In was für einem fachlichen Kontext hast du die Aufgabe denn gestellt bekommen? Gruß, Diophant


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Okay, ein bisschen beruhigt mich das irgendwie. Bin schon den halben Tag an der Aufgabe. Ich belege Höhere Mathematik 3 und die Aufgabe ist aus einer Sammlung von Kurzaufgaben, bei der man pro Aufgabe voraussichtlich maximal 6 Minuten zum lösen brauchen sollte. Thematisch wäre das gerade die Einführung in Flächenintegrale. In meinem Skript wird hierzu auch die Tangentialebene wie sie in der Aufgabenstellung gegeben ist allgemein erklärt und am Beispiel einer Kugeloberfläche wird eine Tangentialebene aufgestellt. Das war es dann aber schon. Grüße Feline


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lula
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-16

Hallo Wenn das solche Kurzaufgaben sind verlangen sie nur schnelles Schalten und das ist eben tangential an eine Ebene ist nur sie selbst, also 1/2 Minute Antwortzeit. Gruß lul


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Hallo lul, also vermutest du die Lösung wäre die gegebene Parameterdarstellung selbst mit der Erklärung, dass die Tangentialebene gerade die Ebene selbst ist? Also eher eine Verständnisaufgabe statt einer tatsächlichen Rechenaufgabe. Gruß Feline


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-16

Hallo, ich vermute, dass hier mit Tangentialebene eigentlich der Tangentialraum im Sinne der Differentialgeometrie gemeint sein wird. Das soll insbesondere ein Vektorraum sein. Ich würde deshalb mal davon ausgehen, dass mit der Tangentialebene einer Ebene diejenige zur Ebene parallele Ebene gemeint ist, die aber zusätzlich den Ursprung enthält. Das ist aber natürlich ein rein formaler Unterschied. Die Erkenntnis, dass eine lineare Abbildung ihre eigene Ableitung ist, ist hier die wesentliche Einsicht. Alles weitere ist einfach eine Frage nach der konkreten Definition. LG Nico


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Hi Nico, ich verstehe, das fände ich auch einleuchtend. Ich würde das Thema hiermit schließen. Bin nur froh, dass ich nicht irgendetwas triviales übersehen oder grundlegendes falsch verstanden habe. Danke an euch alle, die sich das mal angeschaut haben 🙂 Grüße Feline


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-17

Hallo, wie gesagt: Es ist eine Frage der Definition, ob man sich die Tangentialebene an die Fläche "angeheftet" vorstellt, oder eben als Untervektorraum. Das unterscheidet sich lediglich um eine Verschiebung. Wenn du uns die Definition deiner Vorlesung / deiner Literatur angibst, dann kann man die Frage auch eindeutig beantworten. LG Nico


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Hallo Nico, sorry, ich dachte du meintest eher, man müsse das von der Definition abhängig machen und kann es deswegen nicht genau eingrenzen. Habe ich falsch verstanden. Also in meinem Skript steht zur Tangentialebene nur wie diese allgemein in einem Punkt dargestellt wird und zwar so: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55802_tang_ebene_skript.PNG Ansonsten wurde der Normelnvektor erläutert und für Beispiele an einer Kugeloberfläche, einer offenen Menge und einem Kegelmantel einmal vorgerechnet. Ab dann geht es in das Thema Flächeninhalte und Flächenintegrale selbst. Tangentialeben wird nicht mehr erwähnt. Ich habe vorhin einen Übungsleiter fragen können und wie es aussieht wäre die Antwort auf die Frage gewesen, den Normalenvektor aufzustellen. Dies wäre dann gleichbedeutend mit der Tangentialebene. Aber mir wurde auch gesagt, dass die Ebene die Tangentialebene selbst ist. Die Vermutung zumindest stimmt also. Dass man nun den Normalenvektor die Tangentialebene nennt, finde ich noch ein wenig verwirrend. Steht so nicht in meinem Skript aber ich habe in meiner Mitschrift zur Vorlesung gefunden, dass mein Prof das in der Vorlesung auch so bezeichnet hatte. Jetzt bin ich noch am überlegen was das bedeutet, wenn ein Normalenvektor eine Ebene ist. Das kann ich mir noch nicht so gut vorstellen. Grüße Feline


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-17

Hallo nochmals, \quoteon(2022-08-17 16:35 - Feline_Stoja in Beitrag No. 10) Dass man nun den Normalenvektor die Tangentialebene nennt, finde ich noch ein wenig verwirrend. \quoteoff Nein, das kann so nicht sein. Halten wir einmal fest: es geht hier um Tangentialebenen im Sinne von Ebenen, die eine Fläche berühren. Und nicht um sog. Tangentialräume. Dann ist die Ebene Tangentialebene zu sich selbst, so weit ist das trivialerweise richtig. Deine Aufgabe besteht hier darin, dies mittels Berechnung des Normalenvektors (den man mit Hilfe deiner Definition bestimmen kann, denke an die Vektorrechnung in der Schule zurück, Stichwort: Koordinatenform bzw. Normalenform einer Ebene). Aber der Normalenvektor ist natürlich nicht die Tangentialebene, sondern man kann diese mit Hilfe dieses Vektors beschreiben. Das ist ein Unterschied. (Sinnhafter ist die Aufgabe für mich damit nicht geworden, aber das ist ein anderes Kapitel. 😉) Gruß, Diophant


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Hallo Diophant, das sehe ich genauso. Wir behandeln hier Flächen im |R^3 und ich würde sagen der Normalenvektor ist damit genau nur das, ein Vektor. Hier ist übrigens meine Mitschrift. So hatte mein Professor das Kapitel Flächenintegrale eingeleitet. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55802_skript_notiz.JPG Grüße Feline


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Diophant
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da musst du etwas falsch notiert haben: was bei dir hinter "Tangentialebene:" steht, ist nichts anderes als ein Normalenvektor (das hattest du ja wohl selbst schon festgestellt). Nämlich das Kreuzprodukt der beiden partiellen Ableitungen nach \(t\) bzw. \(\theta\). Das Kreuzprodukt ist übrigens auch falsch ausgerechnet. Da solltest du nochmal dahinter, nämlich u.a. welche Komponente an welcher Position steht... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Hallo, ich sehe das genauso, Diophant. Danke, ich setze mich mal dran und rechne das selbst einmal nach. Meine Notizen sind aber auch nur abgeschrieben gewesen. Durch das Online Semester sind die Vorlesungsvideos für mich noch verfügbar, ich habe gerade mal nachgeschaut und siehe da: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55802_Folie_Einf_Flintegrale.JPG Das ist die Folie meines Profs. Ich frage mich wieso wir das so aufschreiben. Viel wird dazu nicht gesagt. Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-17 17:10 - Feline_Stoja in Beitrag No. 14) Das ist die Folie meines Profs. Ich frage mich wieso wir das so aufschreiben. Viel wird dazu nicht gesagt. \quoteoff Zunächst einmal sieht das Kreuzprodukt auf der Folie schon besser aus. 😉 Vielleicht ist das so gemeint, dass man da selbst draufkommen soll. Da steht halt ein Stichwort "Tangentialebene". Und dann steht da ein Vektor. Auch wenn die beiden Punkte darüber jeweils das enthalten, was angekündigt ist, hat das hier ja nicht den Charakter von Definitionen, sondern eventuell wurde einfach von euch erwartet, selbst dahinterzukommen, dass da der Normalenvektor (als einzig wirklich relavante Information) steht. Ob das nun "didaktisch klug" ist oder nicht, ist wieder eine andere Frage. Aber darauf hat man ja (jetzt wieder ernsthaft gesprochen) im Studium ehrlich gesagt auch keinen Anspruch mehr (im Unterschied zur Schule). Gruß, Diophant


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Feline_Stoja
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Ich denke, das habe ich dann alles nur zu sehr zerdacht 😖 Jetzt weiß ich immerhin was bei so einer Aufgabe von mir erwartet wird. Hier habe ich auch nochmal den Normalenvektor nachgerechnet: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55802_Kreuzprodukt_NV.JPG Danke nochmals für die Hilfe! LG Feline


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Feline_Stoja hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Feline_Stoja hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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