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Differentiation » Taylorentwicklungen » Parameterintegral Taylorpolynom
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Universität/Hochschule Parameterintegral Taylorpolynom
eli123
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  Themenstart: 2022-10-06

Hallo, Man soll das Taylorpolynom 3. Ordnung um den Entwicklungspunkt 0 berechnen: f(x)=x^2*int(exp(t^2),t,x,2x) Die Lösung dazu ist: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55863_Bildschirmfoto_2022-10-06_um_09.19.25.png Die erste Ableitung verstehe ich noch, aber dann leider nichtmehr. Ich finde auch nichts im Internet wie man da vorgeht


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wladimir_1989
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hallo eli123, bist du dir sicher, dass dein Integral stimmt, denn momentan kommt dort kein x im Integranden vor, womit es dann kein Parameterintegral ist. lg Wladimir


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eli123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Stimmt, hab was vergessen


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wladimir_1989
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-06

Hallo, ok. Du musst hier eigentlich nur Produktregel und den Hauptsatz der Differentialrechnung anwenden. Damit das noch klarer wird, kann man das Integral als Differenz von zwei Integralen schreiben, die beide bei 0 anfangen. Du schreibst, dass die erste Ableitung klar ist. Welchen Schritt bei der Berechnung der zweiten Ableitung verstehst du nicht? lg Wladimir


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eli123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Warum verschwindet das t in der 3. Ableitung?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06

Hallo, in der zweiten Ableitung steht das Integral alleine da, man kann also direkt den Hauptsatz der Differentialrechnung anwenden. Weißt du, was dieser aussagt? lg Wladimir


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-06 10:40 - eli123 in Beitrag No. 4) Warum verschwindet das t in der 3. Ableitung? \quoteoff Nicht das \(t\) verschwindet: das Integral verschwindet, weil man es in dem Moment per Hauptsatz durch Ableiten auflösen kann, wo kein Vorfaktor \(x\) mehr dasteht. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Taylorentwicklungen' von Diophant]\(\endgroup\)


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eli123
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

\quoteon(2022-10-06 10:52 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5) Weißt du, was dieser aussagt? \quoteoff Ja, aber verstanden hab ich ihn nur so halb


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-06

\quoteon(2022-10-06 11:21 - eli123 in Beitrag No. 7) Ja, aber verstanden hab ich ihn nur so halb \quoteoff Es ist schwierig, auf diese recht unspezifische Feststellung zu antworten. Was genau hast du denn am Hauptsatz nicht verstanden? In Grundzügen lernt man den Satz ja schon in der Schule kennen, also erinnere dich am besten einmal daran, was du in der Schule über Differential- und Integralrechnung gelernt hast und gehe mit diesem Wissen an den Satz heran, so wie er dir jetzt vorliegt. Gruß, Diophant


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eli123
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Ich kenne die Leibniz-Regel. Aber ich weiß z.B. nicht warum das Integral dann verschwindet


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-06

\quoteon(2022-10-06 11:46 - eli123 in Beitrag No. 9) Ich kenne die Leibniz-Regel. Aber ich weiß z.B. nicht warum das Integral dann verschwindet \quoteoff Mit "Leibniz-Regel" meinst du die Produktregel? Jedenfalls geht es hier zunächst einmal nicht um die Frage, wie man was ableitet (obwohl diese Regel hier natürlich auch zum Einsatz kommt). Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) stellt einen wichtigen Zusammenhang her zwischen der Ableitung auf der einen und dem Integral auf der anderen Seite. Und diesen Zusammenhang hast du - wenn auch eventuell in vereinfachter Form - bereits in der Schule kennengelernt. Den musst du verstehen, dann ist die obige Rechnung doch selbsterklärend. Gruß, Diophant


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Mandelbluete
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-10-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \) Huhu! 🙂 Der Hauptsatz sagt folgendes: Wenn $g : I \to \R$ eine auf einem (nicht-leeren) Intervall stetige Funktion ist und $a \in I$, dann ist \[ G : I \to \R, \quad G(x) := \int_a^x g(t) \, \mathrm{d}t, \] eine Stammfunktion von $g$, also eine Funktion mit $G'(x) = g(x)$. Wir haben jetzt \[ H(x) := \int_x^{2x} e^{t^2} \, \mathrm{d}t = \int_0^{2x} e^{t^2} \, \mathrm{d}t - \int_0^x e^{t^2} \, \mathrm{d}t = 2\int_0^x e^{4s^2} \, \mathrm{d}s - \int_0^x e^{t^2} \, \mathrm{d}t. \] Wir haben da einfach im ersten Integral mit $t = 2s$, $\mathrm{d}t = 2\mathrm{d}s$ substituiert. Daraus folgt sofort \[ H'(x) = 2e^{4x^2} - e^{x^2}. \] Das ist das, was schon gesagt wurde, ausgeschrieben. Hoffe, es hilft. 🙂 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]\(\endgroup\)


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