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Analysis » Komplexe Zahlen » Woher weiß ich, ob das rational ist?
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Universität/Hochschule J Woher weiß ich, ob das rational ist?
nikofld3
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  Themenstart: 2022-10-06

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_alder.png (2cos 2pi/10)^2+p*(2cos 2pi/10)+q=0. Nun soll ich p und q so bestimmen, dass es 0 ergibt. ich kann z. B. sagen q=0 und p sei einfach - (2cos 2pi/10), aber keine Ahnung ob das passt, ist 2cos 2pi/10 überhaupt rational?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hallo nikofld3, nein, \(2\cos(\frac{2\pi}{10})\) ist nicht rational, das wäre ja auch etwas einfach. Du musst natürlich die Dinge ausnutzen, welche in der Aufgabenstellung gegeben sind: Du willst \(p,q\in\mathbb{Q}\) finden, sodass \(x^2+px+q=0\) für \(x:=2\cos(\frac{2\pi}{10})\) und Du weißt, dass \(x=\zeta+\zeta^{-1}\). Setze dies ein und multipliziere die Gleichung mit \(\zeta^2\). Dann nutze weiter, dass \(\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0\) ist. Damit kannst Du \(p\) und \(q\) bestimmen und dann die Nullstellen von \(x^2+px+q\) berechnen, von denen \(2\cos(\frac{2\pi}{10})\) die positive Nullstelle ist. [Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Komplexe Zahlen' von sonnenschein96]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-06

Huhu, setze doch mal \(\zeta+\zeta^{-1}=\eta\). Nun dividieren wir \(0=\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1\) durch \(\zeta^2\). Wir erhalten \(\zeta^2+\frac{1}{\zeta^2}-\underbrace{\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)}_{=\eta}+1=0\). Nun beachte noch \(0=2-2\). Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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nikofld3
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06

Danke, so habe ich zunächst auch gedacht, dann kam ich jedoch auf p=-1 und q=-2 und davon die Nullstellen sind 2 und -1, wenn ich x^2-x-2 dann nehme und die Nullstellen berechne. Und 2*cos(2pi/10) ist ja nicht 2...?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-06

\quoteon(2022-10-06 18:48 - nikofld3 in Beitrag No. 3) [...] dann kam ich jedoch auf p=-1 und q=-2 [...] \quoteoff Das ist nicht korrekt. Du müsstest uns schon Deine Rechnung präsentieren, damit wir Dir den Fehler aufzeigen können. \quoteon(2022-10-06 18:48 - nikofld3 in Beitrag No. 3) Und 2*cos(2pi/10) ist ja nicht 2...? \quoteoff Stimmt. Das beweist, dass Deine Werte für \(p,q\) nicht korrekt sind.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-06

Hallo nikofld3, hier noch ein anderer Zugang. Wir haben \(\zeta^{10}=1\) und damit \(\zeta^{-1}=\zeta^9\) sowie \(\zeta^{-2}=\zeta^8\). Gleichzeitig gilt \(\zeta^5=-1\) und folglich \(\zeta^{-1}=\zeta^9=-\zeta^4\) und \(\zeta^{-2}=-\zeta^3\). Sei nun \(x=\zeta+\zeta^{-1}\). Dann gilt \(x^2=\zeta^2-\zeta^3+2\) und \(x=\zeta-\zeta^4\). Mit dieser Vorüberlegung und der Gleichung \(\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0\) kann man nun leicht die gesuchten \(p,q\in \mathbb{Q}\) bestimmen, so dass \(x^2+px+q=0\) gilt. lg Wladimir


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Wario
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-07

\quoteon(2022-10-06 17:59 - nikofld3 im Themenstart) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_alder.png \quoteoff $\zeta^4-\zeta^3+\zeta^2-\zeta+1=0$ durch $\zeta^2$ dividiert: $\left( \zeta^2+\dfrac{1}{\zeta^2} \right) -\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right) +1 =0$ N.R.: $\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)^2 =\zeta^2 +\dfrac{1}{\zeta^2} +2$ $\Rightarrow~ \underbrace{\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)^2}_{=x^2} -2 -\underbrace{\left( \zeta+\dfrac{1}{\zeta} \right)}_{=x} +1 =0$ $\Rightarrow~ x^2-x-1=0$


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