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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Ist das schon ein Beweis durch Kontraposition oder Widerspruch
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Universität/Hochschule Ist das schon ein Beweis durch Kontraposition oder Widerspruch
spikespiegel43
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  Themenstart: 2022-10-06

Wenn ich zeigen möchte, dass eine Funktion injektiv ist, dann nehme ich mir i.d.R ein n Element aus Bild(f) und zwei Elemente m und m' als die beiden Urpunkte aus M und versuche durch f(m) = f(m') zu zeigen, dass m = m' ist. Denn wenn ich annehme, es gibt zwei Urbilder m und m' zu n Element aus Bild(f) existieren, dann ist ja die Annahme B(f sei injektiv) negiert. Aus nicht B(also die Funktion ist nicht injektiv) folgt, dass diese beide Urbilder gleich sind m = m', was in Widerspruch steht dazu, dass m und m' zwei Urbilder sind. Jezt ist meine Frage, ist das hier ein Beweis durch Kontraposition oder indirekt? Für mich sieht das wie eine Mischung zwischen den beiden aus? Für Kontrapoistion spricht, dass wir statt A => B von nicht B => A? folgern. Für Indirekt steht, dass sich am Ende ein Widerspruch ergibt. Ich kann mich nicht entscheiden, was es genau ist. Vllt. eine Mischung? Also Nicht B => A(was falsch ist, was zum wiederspruch führt da m=m') und dieser sowohl Kontraposition als auch indirekt ist?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hey spikespiegel43, es kommt ganz auf die Formulierung an. Wenn du etwa schreibst: "Seien \(m,m' \in M\) mit \(f(m)=f(m')\). Dann gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\)" dann hast du einen direkten Beweis. Wenn du z.B. schreibst: "Angenommen, die Voraussetzung A gilt und es existieren \(m,m' \in M\) mit \(m\neq m'\), sodass \(f(m)=f(m')\) gilt. Dann gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\), also ein Widerspruch zu \(m\neq m'\)" dann ist es ein Beweis per Widerspruch. Wenn du allerdings schreibst: "Sei \(f:M \to N\) nicht injektiv. Dann existieren \(m,m' \in M\) mit \(m\neq m'\), sodass \(f(m)=f(m')\). Weiter gilt: [...]. Somit folgt \(m=m'\), also gilt nicht A." (wobei 'nicht A' etwa bedeuten kann, dass die Funktion \(f\) anders definiert sein müsste als in A angegeben) dann ist es ein Beweis durch Kontraposition. In aller Regel sieht der Beweis, die Injektivität einer Funktion zu zeigen, fast immer gleich aus, egal welche Beweismethode man wählt. Am praktikabelsten sehen mMn aber die erste und zweite Methode aus


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-07

Moin, ich sehe das so: Definition: f ist injektiv, wenn aus \(m\neq m'\) folgt, dass \(f(m)\neq f(m')\) Kontraposition: f ist injektiv, wenn aus \(f(m)=f(m')\) folgt, dass \(m= m'\) Beweis durch Widerspruch: f ist injektiv, wenn aus \(m\neq m'\) und \(f(m)=f(m')\) folgt, dass 0 = 1 (oder irgend eine andere falsche Aussage)


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