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 Bilder offener Mengen |
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matheg
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Wohnort: Kassel
 |  Themenstart: 2006-05-12
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Hallo!
Ich hätte mal eine Frage zum Thema Bilder stetiger Abbildugen.
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz der beagte, dass Urbillder offener Mengen unter stetigen Abbildungen, wieder offen sind, und ich würde gerne wissen ob auch die Umkherung gilt: sind Bilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen offen? und warum steht dazu nichts in Lehrbüchern, es steht nur der obengennante Satz.
Gruss
matheg
[ Nachricht wurde editiert von matheg am 12.05.2006 20:57:00 ]
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micro
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2003
Mitteilungen: 602
Wohnort: Karlsruhe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-05-12
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Hey matheg.
Nein, das stimmt auch nicht. Abbildungen, für die das gilt, nennt man offen (resp. abgeschlossen).
Betrachte z.B den Sinus, der ist wohl wunderbar stetig auf (-10,10), aber das Bild ist [-1,1], also keineswegs offen.
µ
[ Nachricht wurde editiert von micro am 12.05.2006 20:51:37 ]
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matheg
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Wohnort: Kassel
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-12
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Hi! Ok ich sehe es. Danke!
Gruss
matheg
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Phoensie
Wenig Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 435
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-20
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Kann man zusätzliche Voraussetzungen an eine stetige Abbildung \(f\) stellen, damit Bilder offener Mengen unter \(f\) offen sind? Wenn ja, welche?
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 555
 | Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-20
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Hallo Phoensie,
es gibt eine Reihe von zusätzlichen Voraussetzungen unter denen eine stetige Funktion auch offen ist.
Schau doch einfach mal bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Abbildung
Hinreichende Bedingungen sind z.B. die Injektivität, die Holomorphie oder die Linearität+Surjektivität (je nachdem zwischen welchen topologischen Räumen die Abbildung definiert ist).
Dies besagen die folgenden bekannten nichttrivialen Sätze:
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz_von_der_Invarianz_offener_Mengen
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionentheorie)
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_offenen_Abbildung_(Funktionalanalysis)
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