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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » Beweis: Familie der f_n gleichgradig stetig genau dann, wenn c < 1
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Universität/Hochschule Beweis: Familie der f_n gleichgradig stetig genau dann, wenn c < 1
BettiBoo
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  Themenstart: 2007-05-26

Und zweites Problem besteht darin: Es sei c > 0 und I das Intervall [0,c]. Betrachte auf I die Funktionen f_n : x -> x^n ür n \el\IN. Man zeige: Die Familie f_1, f_2,... ist genau dann gleichgradig stetig, wenn c < 1 gilt. Dann ist somit die erste Richtung Familie f_n gleichgradig stetig, dann c < 1. Und bei der zweiten Richtung bin ich mir nicht sicher, ist es jetzt c > 1, dann Familie f_n nicht gleichgradig stetig oder c < 1, dann Familie f_n gleichgradig stetig?? Ist das Aber weiter kann ich auch hier nicht denken frown ... Und wäre für Hilfe echt dankbar Danke Betti


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Hanno
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  Beitrag No.1, eingetragen 2007-05-26

Hallo! Die Hinrichtung hast du richtig wiedergegeben, die Rückrichtung lautet "Ist c < 1, so sind die f_n gleichgradig stetig". Die Hinrichtung ist äquivalent dazu zu zeigen, dass für c >= 1 die f_n nicht gleichgradig stetig sind. Dazu beachte, dass f_n (1) = 1 für alle n, jedoch f_n (x) -> 0 für alle x\el [0,1). Zur Rückrichtung beachte folgendes: eine Funktion f\el C^1 [a,b] ist lipschitz-stetig, und zwar ist abs(f(x) - f(y)) <= norm(f' )_\infty abs(x-y) für alle x,y\el [a,b]. Das ist eine direkte Konsequenz des Mittelwertsatzes. Wenn du für also eine Familie stetig differenzierbarer Funktionen zeigen kannst, dass die Supremumsnormen ihrer Ableitungen beschränkt sind, dann ist die Familie gleichgradig stetig. Ist dir das klar? Wenn ja, dann versuche einmal, dies auf die dir gegebene Folge von Funktionen anzuwenden. Liebe Grüße, Hanno [ Nachricht wurde editiert von Hanno am 26.05.2007 23:05:12 ]


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BettiBoo
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-27

Das mit der Hin und Rückrichtung ist mir bewusst, aber ich verstehe das nicht mit der Supremumsnorm? Ich habe schon bei wikipedia geschaut, aber leider macht mir die Zeit das auch nicht klarer frown Also wäre es schön wenn du mir das erklären könntest...


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Hanno
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  Beitrag No.3, eingetragen 2007-05-27

Hi Betti. Was genau ist dir denn unklar? Hast du Probleme damit, zu verstehen was ich schrieb, oder damit, es anzuwenden, um die Aufgabe zu lösen? Ich führe das, was ich geschrieben habe, nochmal etwas aus - ich hoffe es nützt dir etwas. (a) Es sei f\el C[0,1]. Als stetige Funktion auf einem kompakten Raum ist f beschränkt und nimmt sein Minimum & Maximum an. Folglich existiert max_(x\el [0,1]) abs(f(x)). Man definiert nun norm(f)_\infty := max_(x\el [0,1]) abs(f(x)). Diese Abbildung ist eine Norm auf dem Vektorraum C[0,1] der stetigen Funktionen auf [0,1] und wird Supremumsnorm genannt. (b) Es sei f\el C^1[0,1], d.h. f sei differenzierbar und f' stetig. Für a 0 ein \delta > 0 gibt, s.d. abs(f(y)-f(x)) <= \epsilon für alle y\el [0,1] mit abs(x-y)<\delta. Das ist die \epsilon-\delta-Definition der Stetigkeit. Ist gilt z.B. abs(f(x) - f(y)) <= C * abs(x-y) für ein C > 0, so kannst du stets \delta := \epsilon / C setzen. Eine Familie von Funktionen f_i heißt in x gleichgradig stetig, wenn es zu jedem \epsilon ein gemeinsames \delta für alle Funktionen f_i gibt. Nimm nun an, alle f_i seien lipschitz-stetig, d.h. es gibt C_i > 0 mit abs(f_i (x) - f_i (y)) <= C_i * abs(x - y) für alle x,y\el [0,1]. Dann kann man, wie oben erklärt, für ein festes \epsilon und i als \delta_i für f_i den Wert \epsilon / C_i wählen. Was passiert nun, wenn die C_i alle beschränkt sind, sagen wir durch ein C > 0? Genau: dann ist \delta_i >= \epsilon / C und du kannst für alle f_i ein einheitliches \delta, nämlich \epsilon / C wählen; die f_i sind also gleichgradig stetig! Ist das klar? Die Erklärung war recht allgemeiner Natur und bezog sich nicht konkret auf deine Aufgabe. Ich überlasse es nun dir zu sehen, dass du genau das, was ich gerade in (a)-(c) vorgerechnet habe, kombinieren und auf deine Funktionenfolge anwenden kannst. Liebe Grüße, Hanno


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BettiBoo
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-27

Hi! Danke für deine ausführlichen Erklärungen, das hilft mir ungemein das Allgemeine zu verstehen. Jedoch besteht mein eigentliches Problem im Anwenden passend zur Aufgabe. Habe ich eine Lösung vor mir, ist es mir ein Leichtes die Schritte nachzuvollziehen und diese auf eine ähnliche/gleiche Aufgabe anzuwenden, aber ohne ein solches Beispiel, tue ich mir immer sooo übelst schwer. Dennoch gebe ich nicht auf und versuche deine Tipps auf diese Aufgabe anzuwenden :| Lieben Gruß Betti


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Hanno
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  Beitrag No.5, eingetragen 2007-05-27

Hallo Betti. Wo genau liegt dein Problem bein Anwenden auf die Aufgabe? Überlege dir in Ruhe, was du zeigen musst - sieh dir dann nochmals an, was ich im Allgemeinen gezeigt habe. Du wirst dann merken, dass du für dein spezielles Problem nur noch eine Kleinigkeit zeigen musst, die nicht schwierig ist. Falls es anfangs nicht klappt, dann beginne nochmal von vorne. Die eigene Einsicht kann dir niemand abnehmen. Auf geht's :) Liebe Grüße, Hanno


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Schnubelub
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-17

Hallo, ich bin gerade auf diesen Beitrag gestoßen und frage mich wie man diese Konstante C unabhängig von n finden kann. Also $|f(x) - f(y)| \leq C * |x-y|$ für $f(x)=x^n, x\in [0,1)$ Die Supremumsnorm der Ableitungen $f_n '(x)=n*x^{n-1}$ ist doch nicht auf $[0,1)$ beschränkt, oder? Danke für eure Hilfe. Ich weiß nicht ganz wie man mit Hannos Ansatz diese Aufgabe löst. Liebe Grüße!


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semasch
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-17

Moin Schnubelub, der Hinweis soll dazu dienen, die gleichgradige Stetigkeit von $(f_n)$ auf $[0,c]$ für $c < 1$ zu zeigen. Überlege dir also, dass $\left(\left\|f_n'|_{[0,c]}\right\|_{\infty}\right)$ beschränkt ist, um diesen Schluss zu ziehen. LG, semasch


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Schnubelub
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-17

Ah ich verstehe, danke für deine Hilfe! Würde es jetzt so argumentieren: $\left(\left\|f_n'|_{[0,c]}\right\|_{\infty}\right)_{n\in \mathbb{N}}=\left(sup_{x\in [0,c]}(n*x^{n-1})\right)_{n\in \mathbb{N}}=\left(n*c^{n-1}\right)_{n\in \mathbb{N}}$. Da $c\in [0,1)$ konvergiert $\left(n*c^{n-1}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ gegen 0 (sieht man mit de l'Hospital) und ist somit beschränkt.


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semasch
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-17

Ja, genau so ist das richtig. LG, semasch


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